Комплексные корни полиномов

Корень полинома — число x, при котором полином равен 0. График $y = p(x)$ содержит только вещественные x, поэтому показывает только вещественные корни — точки пересечения кривой с осью x. На этой странице прибавляется константа c и решается $p(x) + c = 0$. Увеличение c поднимает график; когда он оказывается выше оси, вещественные корни будто исчезают. Они по-прежнему существуют как комплексные числа $a + bi$. Основной вид рисует все корни на комплексной плоскости: вещественные на вещественной оси, остальные выше или ниже. График внизу использует то же горизонтальное расположение, поэтому вещественный корень на кривой находится прямо под своей точкой на плоскости.

Возьмём $x^2 - 2x + c$ с корнями $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Когда c возрастает до 1, два вещественных корня сближаются и встречаются в x = 1, где график лишь касается оси: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, двукратный корень. После c = 1 число под квадратным корнем становится отрицательным, и корни превращаются в $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Они покидают вещественную прямую под прямым углом, один вверх, другой вниз; с этого момента высота вершины c − 1 равна квадрату их мнимой части, а её координата x — их вещественной части. Два вещественных корня встречаются так всякий раз, когда график касается оси в минимуме; увеличение c превращает их в комплексную пару. В максимуме, как у кубического полинома при c = −2, это делает уменьшение c. Однако связь с вершиной свойственна квадратичным полиномам и в общем случае не переносится: у кубического полинома при c = 3 вещественная часть пары равна 1.052, а соседний минимум графика расположен в x = 1.

Коэффициенты здесь вещественные. Комплексное сопряжение $p(z) + c = 0$ даёт $p(\bar z) + c = 0$, поэтому, если z — корень, то $\bar z$ тоже корень: невещественные корни образуют пары, симметричные относительно вещественной оси и соединённые на рисунке пунктиром. Основная теорема алгебры утверждает, что полином степени n имеет ровно n комплексных корней, если каждый учитывать столько раз, сколько он повторяется: двукратный дважды, трёхкратный корень x³ при c = 0 трижды. Красная кнопка это проверяет. Пока кубический график поднимается от c = −4 до 4, число вещественных корней меняется как 1, 3, 1, но каждая строка записи в сумме даёт 3. Поскольку пары приходят по две, нечётная степень всегда сохраняет хотя бы один вещественный корень.

Если раскрыть произведение $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$, коэффициент при $x^{n-1}$ равен $-(z_1 + \dots + z_n)$. Изменение c затрагивает только свободный член, поэтому сумма корней никогда не сдвигается. Для $x^3 - 3x$ она равна 0 при любом c: когда вещественный корень идёт влево, пара идёт вправо, а при c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Если включить «Сумма корней», ромб отметит среднее значение корней и останется на месте в течение всего процесса.