多項式の複素根

多項式の根とは、その値を0にする数xです。$y = p(x)$のグラフには実数xしかないので、曲線とx軸の交点である実根しか見えません。このページでは定数cを加えて$p(x) + c = 0$を解きます。cを増やすとグラフが上がり、軸から完全に離れると実根はなくなったように見えます。しかし複素数$a + bi$として存在しています。主図はすべての根を複素平面に描き、実根は実軸上、それ以外は上か下に置きます。下のグラフと横位置をそろえているため、曲線上の実根は複素平面の点の真下にあります。

根が$1 \pm \sqrt{1 - c}$である$x^2 - 2x + c$を考えます。cが1まで増えると二つの実根が近づき、グラフが軸にちょうど接するx = 1で出会います：$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$という二重根です。cが1を超えると根号の中が負になり、根は$1 \pm i\sqrt{c - 1}$になります。一つは上、一つは下へ、実軸から直角に離れます。それ以降、頂点の高さc − 1は虚部の二乗、頂点のx座標は実部になります。グラフが極小点で軸に接するときにも二つの実根が同様に出会い、cを増やすと共役対になります。三次式のc = −2のような極大点では、cを減らすとそうなります。ただし頂点との関係は二次式固有で、一般には成り立ちません。三次式のc = 3では対の実部は1.052ですが、隣の極小点はx = 1です。

ここでの係数は実数です。$p(z) + c = 0$の複素共役を取ると$p(\bar z) + c = 0$になるので、zが根なら$\bar z$も根です。非実根は実軸を挟んで鏡映対称な対となり、図では破線で結ばれます。代数学の基本定理によれば、n次多項式は重複度を含めてちょうどn個の複素根を持ちます。二重根は2回、c = 0でのx³の三重根は3回数えます。赤いボタンで確かめられます。三次式をc = −4から4まで上げると実根の数は1、3、1と変わりますが、記録の各行の合計は3のままです。非実根は2個ずつ対になるため、奇数次なら実根が少なくとも一つ残ります。

$(x - z_1)\cdots(x - z_n)$を展開すると、$x^{n-1}$の係数は$-(z_1 + \dots + z_n)$です。cを動かしても変わるのは定数項だけなので、根の和は変わりません。$x^3 - 3x$ではどのcでも0です。実根が左へ動くと対は右へ動き、c = 3では−2.104 + 2 × 1.052 = 0になります。「根の和」をオンにすると、根の平均をひし形で示します。動作中もこの印は動きません。