多項式的複數根

多項式的根，是使它的值等於0的數x。$y = p(x)$的圖形只使用實數x，因此只顯示曲線與x軸相交的實根。本頁加上一個常數c，解$p(x) + c = 0$。c增加時曲線升高，完全離開軸後，實根似乎不見了；它們仍以複數$a + bi$的形式存在。主圖在複平面上畫出所有根：實根在實軸上，其餘在上方或下方。下方圖形與它的橫向位置對齊，因此曲線上的實根就在複平面對應點的正下方。

以$x^2 - 2x + c$為例，根是$1 \pm \sqrt{1 - c}$。c升到1時，兩個實根逐漸靠近，在x = 1相遇，曲線恰好碰到軸：$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，一個二重根。c超過1後，根號內變成負數，根成為$1 \pm i\sqrt{c - 1}$，一個向上、一個向下，垂直離開實軸。此後頂點高度c − 1是虛部的平方，頂點的x座標則是實部。只要曲線在極小點碰到軸，兩個實根也會這樣相遇，增加c便形成共軛對；若是在極大點，例如三次式的c = −2，則是降低c才會如此。不過，根與頂點的關係是二次式的特性，一般情況並不成立：三次式在c = 3時，共軛對的實部為1.052，旁邊的極小點卻在x = 1。

這裡的係數都是實數。對$p(z) + c = 0$取複共軛便得到$p(\bar z) + c = 0$，所以z若是根，$\bar z$也是根。非實根成對出現，關於實軸鏡像對稱，在圖上由虛線連接。代數基本定理說，n次多項式恰有n個複數根，重根按重複次數算：二重根計兩次，c = 0時x³的三重根計三次。紅鍵讓你核對這件事：三次曲線從c = −4升到4，實根數從1變3再變1，記錄每行卻都合計3。由於共軛對每次貢獻兩個根，奇數次多項式總會保留至少一個實根。

把$(x - z_1)\cdots(x - z_n)$展開，$x^{n-1}$的係數就是$-(z_1 + \dots + z_n)$。改變c只會改變常數項，因此根之和不動。對$x^3 - 3x$，任何c下的和都是0：實根往左走，共軛對就往右走；c = 3時，−2.104 + 2 × 1.052 = 0。開啟「根之和」後，菱形會標出根的平均位置，整段過程都固定不動。