Radici complesse dei polinomi

Una radice di un polinomio è un numero x che lo rende 0. Il grafico di $y = p(x)$ contiene solo x reali, quindi mostra solo le radici reali, dove la curva incontra l’asse x. Questa pagina aggiunge una costante c e risolve $p(x) + c = 0$. Aumentare c alza il grafico; quando questo supera l’asse, sembra che le radici reali siano scomparse. Sono ancora lì come numeri complessi $a + bi$. La vista principale disegna tutte le radici nel piano complesso: le reali sull’asse reale, le altre sopra o sotto. Il grafico inferiore condivide l’allineamento orizzontale, quindi una radice reale sulla curva si trova esattamente sotto il suo punto nel piano.

Considera $x^2 - 2x + c$, le cui radici sono $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Quando c sale fino a 1, le due radici reali si avvicinano e si incontrano in x = 1, dove il grafico tocca appena l’asse: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, una radice doppia. Oltre c = 1, il numero sotto la radice quadrata è negativo e le radici diventano $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Lasciano la retta reale ad angolo retto, una verso l’alto e una verso il basso; da quel momento l’altezza del vertice, c − 1, è il quadrato della loro parte immaginaria e la sua ascissa è la parte reale. Due radici reali si incontrano così ogni volta che il grafico tocca l’asse in un minimo, e aumentare c le trasforma in una coppia complessa; in un massimo, come quello della cubica a c = −2, succede diminuendo c. Il legame con il vertice è però una proprietà delle quadratiche e non vale in generale: nella cubica a c = 3, la coppia ha parte reale 1.052, mentre il minimo vicino del grafico si trova in x = 1.

Qui i coefficienti sono reali. Prendere il coniugato complesso di $p(z) + c = 0$ dà $p(\bar z) + c = 0$, quindi, se z è una radice, lo è anche $\bar z$: le radici non reali arrivano in coppie, riflesse rispetto all’asse reale e unite nel disegno da una linea tratteggiata. Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che un polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse, contando ognuna tante volte quante si ripete: due volte una radice doppia, tre volte la radice tripla di x³ a c = 0. Il pulsante rosso lo verifica. Quando la cubica sale da c = −4 a 4, le sue radici reali passano per 1, 3, 1, ma ogni riga del registro totalizza 3. Poiché le coppie arrivano a due a due, un grado dispari mantiene sempre almeno una radice reale.

Sviluppando $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$, il coefficiente di $x^{n-1}$ è $-(z_1 + \dots + z_n)$. Muovere c cambia solo il termine costante, quindi la somma delle radici non si muove mai. Per $x^3 - 3x$ è 0 a ogni c: quando la radice reale va a sinistra, la coppia va a destra, e a c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Con Somma delle radici attiva, un rombo segna la loro media e resta fermo durante qualsiasi esecuzione.