Komplexe Nullstellen von Polynomen

Eine Nullstelle eines Polynoms ist eine Zahl x, für die sein Wert 0 ist. Der Graph von $y = p(x)$ enthält nur reelle x und zeigt daher nur reelle Nullstellen: die Schnittpunkte mit der x-Achse. Diese Seite addiert eine Konstante c und löst $p(x) + c = 0$. Mit wachsendem c steigt der Graph. Liegt er ganz oberhalb der Achse, scheinen die reellen Nullstellen verschwunden. Als komplexe Zahlen $a + bi$ sind sie weiterhin vorhanden. Die Hauptansicht zeigt alle Nullstellen in der komplexen Ebene: reelle auf der reellen Achse, die übrigen darüber oder darunter. Der Graph darunter ist horizontal genauso ausgerichtet; eine reelle Nullstelle der Kurve liegt direkt unter ihrem Punkt in der Ebene.

Betrachte $x^2 - 2x + c$ mit den Nullstellen $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Wenn c auf 1 steigt, nähern sich die beiden reellen Nullstellen und treffen sich bei x = 1, wo der Graph die Achse gerade berührt: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, eine doppelte Nullstelle. Für c > 1 wird die Zahl unter der Wurzel negativ; die Nullstellen sind dann $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Sie verlassen die reelle Gerade rechtwinklig, eine nach oben und eine nach unten. Von da an ist die Scheitelhöhe c − 1 das Quadrat ihres Imaginärteils; die x-Koordinate des Scheitels ist ihr Realteil. Zwei reelle Nullstellen treffen sich ebenso, wenn der Graph die Achse in einem Tiefpunkt berührt; wachsendes c erzeugt dann ein konjugiertes Paar. An einem Hochpunkt, etwa beim kubischen Polynom für c = −2, geschieht dies bei fallendem c. Der Zusammenhang mit dem Scheitel gilt allerdings nur für quadratische Polynome, nicht allgemein: Bei der kubischen Funktion mit c = 3 hat das Paar den Realteil 1.052, während der benachbarte Tiefpunkt bei x = 1 liegt.

Die Koeffizienten hier sind reell. Komplexes Konjugieren von $p(z) + c = 0$ ergibt $p(\bar z) + c = 0$. Ist z eine Nullstelle, ist daher auch $\bar z$ eine: Nicht reelle Nullstellen bilden Paare, gespiegelt an der reellen Achse und im Diagramm gestrichelt verbunden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen, mit Vielfachheiten gezählt: eine doppelte zweimal, die dreifache Nullstelle von x³ bei c = 0 dreimal. Die rote Taste prüft dies. Steigt die kubische Funktion von c = −4 bis 4, wechselt die Zahl reeller Nullstellen von 1 auf 3 und zurück auf 1; jede Zeile ergibt dennoch 3. Da Paare immer zwei Nullstellen beitragen, bleibt bei ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle.

Beim Ausmultiplizieren von $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$ ist der Koeffizient von $x^{n-1}$ gleich $-(z_1 + \dots + z_n)$. Eine Änderung von c betrifft nur das konstante Glied; die Nullstellensumme bleibt deshalb fest. Für $x^3 - 3x$ ist sie bei jedem c gleich 0. Wandert die reelle Nullstelle nach links, wandert das Paar nach rechts; bei c = 3 gilt −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Mit eingeschalteter Nullstellensumme markiert eine Raute den Mittelwert der Nullstellen. Sie bleibt während jedes Durchlaufs am selben Ort.