Raízes complexas de polinómios

Uma raiz de um polinómio é um número x que o torna 0. O gráfico de $y = p(x)$ só tem x reais, pelo que só mostra as raízes reais, onde a curva encontra o eixo x. Esta página soma uma constante c e resolve $p(x) + c = 0$. Aumentar c sobe o gráfico; quando este fica acima do eixo, parece que as raízes reais desapareceram. Continuam lá como números complexos $a + bi$. A vista principal desenha todas as raízes no plano complexo: as reais no eixo real, as restantes acima ou abaixo. O gráfico inferior partilha o alinhamento horizontal, pelo que uma raiz real na curva fica diretamente abaixo do seu ponto no plano.

Considere $x^2 - 2x + c$, cujas raízes são $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Quando c sobe até 1, as duas raízes reais aproximam-se e encontram-se em x = 1, onde o gráfico apenas toca no eixo: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, uma raiz dupla. Depois de c = 1, o número sob a raiz quadrada é negativo e as raízes passam a ser $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Saem da reta real em ângulo reto, uma para cima e outra para baixo; a partir daí, a altura do vértice, c − 1, é o quadrado da sua parte imaginária, e a abcissa do vértice é a sua parte real. Duas raízes reais encontram-se assim sempre que o gráfico toca no eixo num mínimo, e aumentar c transforma-as num par complexo; num máximo, como o da cúbica em c = −2, isso acontece ao diminuir c. Mas a relação com o vértice é própria das quadráticas e não se generaliza: na cúbica em c = 3, o par tem parte real 1.052, enquanto o mínimo vizinho do gráfico está em x = 1.

Os coeficientes aqui são reais. Tomar o conjugado complexo de $p(z) + c = 0$ dá $p(\bar z) + c = 0$, pelo que, se z é uma raiz, $\bar z$ também é: as raízes não reais vêm em pares, refletidos em relação ao eixo real e unidos no desenho por uma linha tracejada. O teorema fundamental da álgebra diz que um polinómio de grau n tem exatamente n raízes complexas, contando cada uma tantas vezes quantas se repete: uma raiz dupla duas vezes, a raiz tripla de x³ em c = 0 três vezes. O botão vermelho verifica-o. Quando a cúbica sobe de c = −4 até 4, o número de raízes reais passa por 1, 3, 1, mas cada linha do registo soma 3. Como os pares vêm dois a dois, um grau ímpar mantém sempre pelo menos uma raiz real.

Desenvolvendo $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$, o coeficiente de $x^{n-1}$ é $-(z_1 + \dots + z_n)$. Mover c só altera o termo constante, pelo que a soma das raízes nunca se move. Para $x^3 - 3x$, é 0 em todos os valores de c: quando a raiz real vai para a esquerda, o par vai para a direita, e em c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Com Soma das raízes ativa, um losango marca a média das raízes e mantém-se fixo durante qualquer percurso.