Akar kompleks polinom

Akar polinom adalah bilangan x yang membuat nilainya 0. Grafik $y = p(x)$ hanya memuat x riil, sehingga hanya menunjukkan akar riil, tempat kurva bertemu sumbu x. Halaman ini menambahkan konstanta c dan menyelesaikan $p(x) + c = 0$. Menaikkan c mengangkat grafik; setelah grafik berada di atas sumbu, akar riil seolah hilang. Akar-akar itu masih ada sebagai bilangan kompleks $a + bi$. Tampilan utama menggambar setiap akar pada bidang kompleks: akar riil pada sumbu riil, yang lain di atas atau di bawahnya. Grafik di bawah memakai posisi horizontal yang sama, sehingga akar riil pada kurva berada tepat di bawah titiknya pada bidang.

Ambil $x^2 - 2x + c$, yang mempunyai akar $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Saat c naik ke 1, kedua akar riil saling mendekat dan bertemu di x = 1, tempat grafik tepat menyentuh sumbu: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, akar rangkap dua. Setelah c = 1, bilangan di dalam akar kuadrat menjadi negatif dan akarnya menjadi $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Keduanya meninggalkan garis riil dengan sudut siku-siku, satu ke atas dan satu ke bawah; sejak itu, tinggi titik puncak, c − 1, adalah kuadrat bagian imajinernya, dan x titik puncak adalah bagian riilnya. Dua akar riil bertemu dengan cara ini setiap kali grafik menyentuh sumbu di titik minimum, dan menaikkan c mengubahnya menjadi pasangan kompleks; pada titik maksimum, seperti milik fungsi kubik di c = −2, hal itu terjadi saat c diturunkan. Namun, hubungan dengan titik puncak khusus untuk fungsi kuadratik dan tidak berlaku secara umum: pada fungsi kubik di c = 3, pasangan itu mempunyai bagian riil 1.052, sedangkan titik minimum grafik di dekatnya berada di x = 1.

Koefisien di sini riil. Mengambil konjugat kompleks dari $p(z) + c = 0$ menghasilkan $p(\bar z) + c = 0$, sehingga jika z adalah akar, $\bar z$ juga akar: akar tak riil muncul berpasangan, saling mencerminkan terhadap sumbu riil dan dihubungkan oleh garis putus-putus pada gambar. Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa polinom berderajat n mempunyai tepat n akar kompleks, dengan setiap akar dihitung sebanyak kemunculannya: akar rangkap dua dihitung dua kali, akar rangkap tiga x³ pada c = 0 dihitung tiga kali. Tombol merah memeriksanya. Saat fungsi kubik naik dari c = −4 hingga 4, jumlah akar riilnya menjadi 1, 3, 1, tetapi setiap baris catatan tetap berjumlah 3. Karena pasangan datang berdua, derajat ganjil selalu menyisakan setidaknya satu akar riil.

Jika $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$ dijabarkan, koefisien $x^{n-1}$ adalah $-(z_1 + \dots + z_n)$. Menggeser c hanya mengubah suku konstanta, sehingga jumlah akar tidak pernah bergeser. Untuk $x^3 - 3x$, jumlahnya 0 pada setiap c: saat akar riil bergeser ke kiri, pasangan akar bergeser ke kanan, dan pada c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Saat Jumlah akar aktif, tanda belah ketupat menandai rata-rata akar dan tetap diam sepanjang proses.