Polinomların karmaşık kökleri

Bir polinomun kökü, polinomun değerini 0 yapan bir x sayısıdır. $y = p(x)$ grafiğinde yalnızca gerçek x değerleri vardır; bu nedenle yalnızca eğrinin x ekseniyle buluştuğu gerçek kökleri gösterir. Bu sayfa bir c sabiti ekler ve $p(x) + c = 0$ denklemini çözer. c artınca grafik yükselir; eksenin üstüne çıkınca gerçek kökler kaybolmuş gibi görünür. Aslında $a + bi$ karmaşık sayıları olarak hâlâ oradadırlar. Ana görünüm bütün kökleri karmaşık düzlemde çizer: gerçek kökler gerçek eksende, diğerleri onun üstünde veya altındadır. Alttaki grafik aynı yatay hizayı paylaşır; böylece eğrideki gerçek bir kök, düzlemdeki noktasının tam altında yer alır.

Kökleri $1 \pm \sqrt{1 - c}$ olan $x^2 - 2x + c$ polinomunu ele alın. c, 1’e yükselirken iki gerçek kök birbirine yaklaşır ve grafiğin eksene tam dokunduğu x = 1’de buluşur: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, iki katlı bir kök. c = 1’den sonra karekök içindeki sayı negatiftir ve kökler $1 \pm i\sqrt{c - 1}$ olur. Gerçek doğrudan dik açıyla, biri yukarı biri aşağı ayrılırlar. Bundan sonra tepe noktasının yüksekliği c − 1, sanal kısımlarının karesi; x konumu ise gerçek kısımlarıdır. Grafik eksene bir minimumda dokunduğunda iki gerçek kök bu şekilde buluşur ve c artırılınca karmaşık bir çifte dönüşür. Kübik polinomun c = −2’deki gibi bir maksimumda ise bu dönüşüm c azaltılınca olur. Ancak tepe noktasıyla bu ilişki ikinci dereceli polinomlara özgüdür ve genel olarak geçerli değildir: c = 3’teki kübik polinomda çiftin gerçek kısmı 1.052 iken grafiğin yakındaki minimumu x = 1’dedir.

Buradaki katsayılar gerçektir. $p(z) + c = 0$ ifadesinin karmaşık eşleniği alındığında $p(\bar z) + c = 0$ elde edilir; dolayısıyla z bir kökse $\bar z$ de köktür. Gerçek olmayan kökler, gerçek eksene göre yansıyan ve grafikte kesikli bir çizgiyle bağlanan çiftler hâlinde gelir. Cebirin temel teoremi, n dereceli bir polinomun, her kök katı kadar sayıldığında tam n karmaşık kökü olduğunu söyler: iki katlı kök iki kez, c = 0’daki x³ polinomunun üç katlı kökü üç kez sayılır. Kırmızı düğme bunu kontrol eder. Kübik grafik c = −4’ten 4’e yükselirken gerçek kök sayısı 1, 3, 1 olur, ancak kaydın her satırı 3’e tamamlanır. Çiftler ikişer geldiği için tek derece her zaman en az bir gerçek kök bırakır.

$(x - z_1)\cdots(x - z_n)$ çarpımı açıldığında $x^{n-1}$ katsayısı $-(z_1 + \dots + z_n)$ olur. c yalnızca sabit terimi değiştirdiğinden köklerin toplamı hiç değişmez. $x^3 - 3x$ için her c değerinde 0’dır: gerçek kök sola giderken çift sağa gider ve c = 3’te −2.104 + 2 × 1.052 = 0 olur. Köklerin toplamı açıkken bir eşkenar dörtgen köklerin ortalamasını işaretler ve işlem boyunca yerinde kalır.