Racines complexes des polynômes

Une racine d’un polynôme est un nombre x qui l’annule. La courbe de $y = p(x)$ ne contient que des x réels : elle ne montre donc que les racines réelles, aux intersections avec l’axe x. Cette page ajoute une constante c et résout $p(x) + c = 0$. Augmenter c monte la courbe ; une fois celle-ci au-dessus de l’axe, les racines réelles semblent avoir disparu. Elles existent toujours, sous forme de nombres complexes $a + bi$. La vue principale trace toutes les racines dans le plan complexe : les réelles sur l’axe réel, les autres au-dessus ou au-dessous. La courbe inférieure partage le même alignement horizontal : une racine réelle sur la courbe se trouve donc juste sous son point dans le plan.

Prenez $x^2 - 2x + c$, dont les racines sont $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Quand c augmente jusqu’à 1, les deux racines réelles se rapprochent et se rencontrent en x = 1, où la courbe touche juste l’axe : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, une racine double. Au-delà de c = 1, le nombre sous la racine carrée devient négatif et les racines deviennent $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Elles quittent la droite réelle à angle droit, l’une vers le haut, l’autre vers le bas ; dès lors, la hauteur du sommet, c − 1, est le carré de leur partie imaginaire, et son abscisse est leur partie réelle. Deux racines réelles se rencontrent ainsi chaque fois que la courbe touche l’axe en un minimum : augmenter c les transforme en une paire complexe ; en un maximum, comme celui de la cubique pour c = −2, c’est en diminuant c que cela se produit. Mais le lien avec le sommet est propre aux quadratiques et ne se généralise pas : pour la cubique à c = 3, la paire a pour partie réelle 1.052, alors que le minimum voisin de la courbe est en x = 1.

Les coefficients sont ici réels. Prendre le conjugué complexe de $p(z) + c = 0$ donne $p(\bar z) + c = 0$ : si z est une racine, $\bar z$ en est donc une aussi. Les racines non réelles viennent par paires, symétriques par rapport à l’axe réel et reliées sur le dessin par un trait discontinu. Le théorème fondamental de l’algèbre dit qu’un polynôme de degré n possède exactement n racines complexes, chacune comptée autant de fois qu’elle se répète : deux fois pour une racine double, trois pour la racine triple de x³ à c = 0. Le bouton rouge le vérifie. Quand la cubique monte de c = −4 à 4, le nombre de racines réelles passe par 1, 3, 1, mais chaque ligne du relevé totalise 3. Comme les paires arrivent par deux, un degré impair conserve toujours au moins une racine réelle.

En développant $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$, le coefficient de $x^{n-1}$ est $-(z_1 + \dots + z_n)$. Faire varier c ne change que le terme constant : la somme des racines ne bouge donc jamais. Pour $x^3 - 3x$, elle vaut 0 pour tout c : quand la racine réelle va vers la gauche, la paire va vers la droite, et à c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Avec Somme des racines activée, un losange marque leur moyenne et reste fixe pendant tout parcours.