数值积分

很多积分没法靠原函数算出来：$e^{-x^2}$有原函数，却写不成初等函数；测量得到的数据更是连公式都没有。数值积分只用f的值来估计$\int_a^b f(x)\,dx$：把[a, b]分成n段，每段宽$\Delta x = (b - a)/n$，在每一段上用过f几个值的简单曲线p代替f，再把p下面的有向面积加起来：

中点法M用过$f(m_i)$的水平线，梯形法T用连接两端的弦，辛普森法S用过两端和中点的抛物线，所以它用到f的2n + 1个值。图上p是黄色的。图下的长条把差$p(x) - f(x)$放大画出来，它的有向面积就是误差，即方法的和减去积分。教科书常把这个和叫作“2n个子区间的辛普森法”，算的是同一个数。

在宽为h的一段上把f按中点展开：中点法的误差约是$-h^3 f''/24$，梯形法约是$+h^3 f''/12$，段很窄时前者接近后者的−½倍。sin x、n = 4时两者是+0.0523和−0.1039。按2 : 1加权，这一项就消掉了；而且恒有$S = (2M + T)/3$。剩下的从每段$h^5 f^{(4)}/2880$开始。长条上看得出来：本页的每个函数上，梯形法的差都只有一种符号，辛普森法的差有正有负，几乎抵消。

辛普森法不只对二次函数准，对三次函数也准。以中点为原点，$(x - m)^3$是奇函数：它在这一段上的积分是0，辛普森法给它的和也是0，因为权重1、4、1是对称的。x³在[0, 2]上只分一段时，抛物线是$3x^2 - 2x$，明显不是x³，可差的两瓣面积是−1/4和+1/4，所以$S_1 = 4$，正好等于积分。$(x - m)^4$是偶函数，消不掉：x⁴只用一条抛物线得20/3，而积分是32/5，差4/15。

把各段加起来，误差按1/n的幂变小。f光滑、误差的首项又不为0时，n每加倍一次，中点法和梯形法的误差最终缩小约4倍（误差∝1/n²），辛普森法缩小约16倍（∝1/n⁴）。eˣ上n取1、2、4时，辛普森法的误差是5.8 × 10⁻⁴、3.7 × 10⁻⁵、2.3 × 10⁻⁶。这套展开要求f足够光滑。√x在0处竖直起步，抛物线跟不上无穷大的斜率，误差每加倍只缩小约$2^{1.5} \approx 2.83$倍，而且几乎全部来自第一段。