Numerische Integration

Viele Integrale lassen sich nicht mithilfe einer Stammfunktion ausrechnen. Eine Stammfunktion von $e^{-x^2}$ existiert, lässt sich aber nicht durch elementare Funktionen ausdrücken; für Messdaten gibt es überhaupt keine Formel. Numerische Integration schätzt $\int_a^b f(x)\,dx$ allein aus Funktionswerten von f. Zerlege [a, b] in n Teilintervalle der Breite $\Delta x = (b - a)/n$, ersetze f auf jedem davon durch eine einfache Kurve p durch einige Funktionswerte und addiere die Flächen mit Vorzeichen unter p:

Die Mittelpunktsregel M legt eine waagerechte Gerade durch $f(m_i)$, die Trapezregel T die Sehne zwischen den Endpunkten und die Simpsonregel S eine Parabel durch Endpunkte und Mittelpunkt. Sie verwendet daher 2n + 1 Werte von f. Im Diagramm ist p gelb. Der Streifen darunter zeigt die Differenz $p(x) - f(x)$ vergrößert. Ihre Fläche mit Vorzeichen ist der Fehler: Näherungssumme minus Integral. Lehrbücher nennen dies oft die Simpsonregel mit 2n Teilintervallen; die Summe ist dieselbe.

Entwickelt man f auf einem Teilintervall der Breite h um dessen Mittelpunkt, beträgt der Fehler der Mittelpunktsregel etwa $-h^3 f''/24$, der der Trapezregel etwa $+h^3 f''/12$. Auf kleinen Intervallen ist der erste daher ungefähr −½ des zweiten: bei sin x mit n = 4 sind es +0.0523 und −0.1039. Die Gewichtung 2 : 1 hebt diesen führenden Term auf; tatsächlich gilt $S = (2M + T)/3$ exakt. Der verbleibende Fehler beginnt pro Teilintervall mit $h^5 f^{(4)}/2880$. Der Streifen macht es sichtbar: Bei allen Funktionen hier behält die Trapezdifferenz ihr Vorzeichen, während sich Simpsons positive und negative Anteile fast aufheben.

Die Simpsonregel ist auch für kubische Funktionen exakt, nicht nur für quadratische. Bezogen auf den Mittelpunkt ist $(x - m)^3$ ungerade: Das Integral über das Teilintervall ist 0, ebenso Simpsons Summe, weil die Gewichte 1, 4, 1 symmetrisch sind. Für x³ auf [0, 2] mit einem Teilintervall ist die Parabel $3x^2 - 2x$, offensichtlich nicht x³. Doch die beiden Teilflächen der Differenz betragen −1/4 und +1/4, sodass $S_1 = 4$ genau dem Integral entspricht. Der Term $(x - m)^4$ ist gerade und hebt sich nicht auf: Bei x⁴ liefert eine Parabel 20/3 statt 32/5, eine Abweichung von 4/15.

Über alle Teilintervalle summiert skalieren die Fehler mit Potenzen von 1/n. Bei glattem f mit einem nicht verschwindenden führenden Fehlerterm verkleinert eine Verdopplung von n den Mittelpunkt- und Trapezfehler schließlich etwa um Faktor 4 (Fehler ∝ 1/n²), Simpsons Fehler etwa um Faktor 16 (∝ 1/n⁴). Für eˣ beträgt Simpsons Fehler bei n = 1, 2, 4 jeweils 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵, 2.3 × 10⁻⁶. Die Entwicklung setzt Glattheit voraus. √x beginnt bei 0 senkrecht; keine Parabel kann diese unendliche Steigung nachbilden. Der Fehler sinkt pro Verdopplung nur um etwa Faktor $2^{1.5} \approx 2.83$ und stammt fast vollständig aus dem ersten Teilintervall.