Integración numérica

Muchas integrales no pueden calcularse mediante una primitiva. La primitiva de $e^{-x^2}$ existe, pero no tiene una fórmula con funciones elementales; los datos medidos ni siquiera tienen fórmula. La integración numérica estima $\int_a^b f(x)\,dx$ solo a partir de valores de f. Divide [a, b] en n tramos de anchura $\Delta x = (b - a)/n$, sustituye f en cada tramo por una curva sencilla p que pasa por algunos de sus valores y suma las áreas con signo bajo p:

La regla del punto medio M traza una recta horizontal por $f(m_i)$; la del trapecio T, la cuerda entre los extremos; y la de Simpson S, la parábola que pasa por los extremos y el punto medio, por lo que usa 2n + 1 valores de f. En el gráfico, p es amarilla. La franja inferior dibuja la diferencia $p(x) - f(x)$, ampliada; su área con signo es el error: la suma menos la integral. Los libros suelen llamar a esto regla de Simpson con 2n subintervalos; es la misma suma.

En un tramo de anchura h, desarrolla f alrededor del punto medio. El error del punto medio es aproximadamente $-h^3 f''/24$ y el del trapecio, $+h^3 f''/12$, así que en tramos pequeños el primero es casi −½ del segundo: con sin x y n = 4 son +0.0523 y −0.1039. Ponderarlos en proporción 2 : 1 cancela ese término principal y, en efecto, $S = (2M + T)/3$ exactamente. El error restante empieza en $h^5 f^{(4)}/2880$ por tramo. La franja lo muestra: en todas las funciones de aquí, la diferencia del trapecio conserva el signo, mientras que la de Simpson tiene partes positivas y negativas que casi se cancelan.

La regla de Simpson también es exacta para las cúbicas, no solo para las cuadráticas. Respecto al punto medio, $(x - m)^3$ es impar: su integral en el tramo es 0, y también su suma de Simpson, porque los pesos 1, 4, 1 son simétricos. Para x³ en [0, 2] con un tramo, la parábola es $3x^2 - 2x$, claramente distinta de x³; aun así, los dos lóbulos de la diferencia tienen áreas −1/4 y +1/4, de modo que $S_1 = 4$, la integral exacta. El término $(x - m)^4$ es par y no se cancela: para x⁴ una parábola da 20/3 frente a 32/5, con una diferencia de 4/15.

Al sumar los tramos, los errores varían como potencias de 1/n. Para una f suave cuyo término principal del error no sea cero, duplicar n acaba dividiendo los errores del punto medio y del trapecio aproximadamente por 4 (error ∝ 1/n²), y el de Simpson por 16 (∝ 1/n⁴). Con eˣ, el error de Simpson pasa por 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵ y 2.3 × 10⁻⁶ al tomar n = 1, 2, 4. El desarrollo necesita que f sea suave. √x sale verticalmente de 0; ninguna parábola puede igualar esa pendiente infinita, y el error solo se divide aproximadamente por $2^{1.5} \approx 2.83$ al duplicar n, con casi todo el error en el primer tramo.