Integração numérica

Muitos integrais não podem ser calculados a partir de uma primitiva. A primitiva de $e^{-x^2}$ existe, mas não tem uma expressão em funções elementares; dados medidos nem sequer têm uma fórmula. A integração numérica estima $\int_a^b f(x)\,dx$ apenas a partir de valores de f. Divide-se [a, b] em n intervalos de largura $\Delta x = (b - a)/n$, substitui-se f em cada um por uma curva simples p que passa por alguns dos seus valores e somam-se as áreas com sinal por baixo de p:

A regra do ponto médio M usa uma reta horizontal que passa por $f(m_i)$, a dos trapézios T usa a corda entre os extremos, e a de Simpson S usa a parábola que passa pelos extremos e pelo ponto médio, precisando assim de 2n + 1 valores de f. No gráfico, p é amarela. A faixa inferior desenha a diferença $p(x) - f(x)$, ampliada; a sua área com sinal é o erro, ou seja, a soma menos o integral. Os manuais chamam muitas vezes a isto Simpson com 2n subintervalos; a soma é a mesma.

Num intervalo de largura h, desenvolvemos f em torno do ponto médio. O erro do ponto médio é aproximadamente $-h^3 f''/24$ e o dos trapézios é $+h^3 f''/12$, pelo que, em intervalos pequenos, o primeiro é quase −½ do segundo: para sin x com n = 4, são +0.0523 e −0.1039. Ponderá-los na proporção 2 : 1 anula esse termo dominante e, de facto, $S = (2M + T)/3$ exatamente. O erro restante começa em $h^5 f^{(4)}/2880$ por intervalo. A faixa mostra-o: em todas as funções aqui, a diferença dos trapézios mantém o sinal, enquanto a de Simpson tem partes positivas e negativas que quase se anulam.

A regra de Simpson é exata também para cúbicas, não apenas para quadráticas. Em relação ao ponto médio, $(x - m)^3$ é ímpar: o seu integral no intervalo é 0, tal como a sua soma de Simpson, pois os pesos 1, 4, 1 são simétricos. Para x³ em [0, 2] com um intervalo, a parábola é $3x^2 - 2x$, claramente diferente de x³; mas os dois lóbulos da diferença têm áreas −1/4 e +1/4, pelo que $S_1 = 4$, o integral exato. O termo $(x - m)^4$ é par e não se anula: para x⁴, uma parábola dá 20/3 em vez de 32/5, com um desvio de 4/15.

Somando os intervalos, os erros variam como potências de 1/n. Para uma f suave cujo termo dominante do erro não seja zero, duplicar n acaba por dividir os erros do ponto médio e dos trapézios por cerca de 4 (erro ∝ 1/n²), e o de Simpson por cerca de 16 (∝ 1/n⁴). Para eˣ, o erro de Simpson passa por 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵ e 2.3 × 10⁻⁶ quando n é 1, 2, 4. O desenvolvimento exige que f seja suave. √x parte verticalmente de 0; nenhuma parábola pode reproduzir esse declive infinito, e o erro divide-se apenas por cerca de $2^{1.5} \approx 2.83$ a cada duplicação, vindo quase todo do primeiro intervalo.