Sayısal integrasyon

Birçok integral, bir ilkel fonksiyon kullanılarak hesaplanamaz. $e^{-x^2}$ için ilkel fonksiyon vardır, ancak temel fonksiyonlarla yazılan bir formülü yoktur; ölçüm verilerinin ise hiçbir formülü yoktur. Sayısal integrasyon, $\int_a^b f(x)\,dx$ değerini yalnızca f değerlerinden tahmin eder. [a, b] aralığını genişliği $\Delta x = (b - a)/n$ olan n parçaya bölün; her parçada f yerine birkaç değerinden geçen basit bir p eğrisi koyun ve p altındaki işaretli alanları toplayın:

Orta nokta kuralı M, $f(m_i)$ üzerinden geçen yatay doğruyu; yamuk kuralı T, iki ucu birleştiren kirişi; Simpson kuralı S ise uçlardan ve orta noktadan geçen parabolü kullanır. Bu nedenle Simpson, f için 2n + 1 değere ihtiyaç duyar. Grafikte p sarıdır. Alttaki şerit $p(x) - f(x)$ farkını büyüterek çizer; işaretli alanı hatadır, yani toplam eksi integral. Ders kitaplarında buna sıkça 2n alt aralıklı Simpson kuralı denir; toplam aynıdır.

Genişliği h olan bir aralıkta f fonksiyonunu orta nokta çevresinde açalım. Orta nokta kuralının hatası yaklaşık $-h^3 f''/24$, yamuk kuralınınki yaklaşık $+h^3 f''/12$ olur; küçük aralıklarda ilki, ikincisinin yaklaşık −½ katıdır: sin x ve n = 4 için +0.0523 ve −0.1039. Bunları 2 : 1 oranında ağırlıklandırmak bu baş terimi yok eder ve gerçekten de $S = (2M + T)/3$ tam olarak geçerlidir. Kalan hata, aralık başına $h^5 f^{(4)}/2880$ terimiyle başlar. Şeritte bunu görebilirsiniz: buradaki her fonksiyonda yamuk farkı aynı işareti korurken Simpson farkının pozitif ve negatif kısımları neredeyse birbirini götürür.

Simpson kuralı yalnızca ikinci derecede değil, kübik polinomlarda da tam sonuç verir. Orta noktaya göre $(x - m)^3$ tektir: aralık üzerindeki integrali 0’dır; 1, 4, 1 ağırlıkları simetrik olduğundan Simpson toplamı da 0’dır. [0, 2] üzerinde tek aralıkla x³ için parabol $3x^2 - 2x$ olur ve açıkça x³ değildir. Buna rağmen farkın iki parçasının alanları −1/4 ve +1/4 olduğundan $S_1 = 4$ elde edilir; bu, integralin tam değeridir. $(x - m)^4$ terimi çifttir ve yok olmaz: x⁴ için bir parabol 32/5 yerine 20/3 verir, fark 4/15’tir.

Aralıklar toplandığında hatalar 1/n kuvvetleri gibi değişir. Baş hata terimi sıfır olmayan düzgün bir f için n değerini ikiye katlamak sonunda orta nokta ve yamuk hatalarını yaklaşık 4 kat (hata ∝ 1/n²), Simpson hatasını yaklaşık 16 kat (∝ 1/n⁴) küçültür. eˣ için n = 1, 2, 4 iken Simpson hatası 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵, 2.3 × 10⁻⁶ olur. Bu açılım f fonksiyonunun düzgün olmasını gerektirir. √x, 0’da dik başlar; hiçbir parabol bu sonsuz eğimi karşılayamaz. Hata her ikiye katlamada yalnızca yaklaşık $2^{1.5} \approx 2.83$ kat küçülür ve neredeyse tamamı ilk aralıktan gelir.