수치 적분

많은 적분은 원시함수로 계산할 수 없습니다. $e^{-x^2}$의 원시함수는 존재하지만 초등함수로 된 식이 없고, 측정 데이터는 식 자체가 없습니다. 수치 적분은 f의 값만으로 $\int_a^b f(x)\,dx$을 추정합니다. [a, b]를 폭이 $\Delta x = (b - a)/n$인 n개 구간으로 나누고, 각 구간의 f를 몇 가지 함숫값을 지나는 간단한 곡선 p로 바꾼 뒤, p 아래의 부호 있는 넓이를 더합니다.

중점 공식 M은 $f(m_i)$을 지나는 수평선을, 사다리꼴 공식 T는 양 끝을 잇는 현을, 심프슨 공식 S는 양 끝과 중점을 지나는 포물선을 사용합니다. 따라서 심프슨 공식에는 f의 값 2n + 1개가 필요합니다. 그래프에서 p는 노란색입니다. 아래 띠는 차이 $p(x) - f(x)$을 확대해 그립니다. 그 부호 있는 넓이가 오차, 즉 합에서 적분값을 뺀 값입니다. 교과서에서는 이를 흔히 2n개 소구간의 심프슨 공식이라고 부르지만, 같은 합입니다.

폭이 h인 구간에서 중점을 중심으로 f를 전개합니다. 중점 공식의 오차는 약 $-h^3 f''/24$, 사다리꼴 공식의 오차는 약 $+h^3 f''/12$이므로, 작은 구간에서는 앞의 값이 뒤의 값의 약 −½배입니다. sin x와 n = 4에서는 각각 +0.0523, −0.1039입니다. 2 : 1의 가중치로 합치면 이 주도항이 없어지며, 실제로 $S = (2M + T)/3$가 정확히 성립합니다. 남은 오차는 구간마다 $h^5 f^{(4)}/2880$ 항부터 시작합니다. 띠에서 이를 볼 수 있습니다. 여기의 모든 함수에서 사다리꼴의 차이는 한 부호를 유지하지만, 심프슨의 차이는 양수와 음수 부분이 거의 상쇄됩니다.

심프슨 공식은 이차식뿐 아니라 삼차식에도 정확합니다. 중점을 기준으로 $(x - m)^3$은 홀함수여서 구간의 적분값이 0입니다. 가중치 1, 4, 1이 대칭이므로 심프슨 합도 0입니다. [0, 2]에서 구간 하나로 x³을 계산하면 포물선은 $3x^2 - 2x$로, x³과 분명히 다릅니다. 하지만 차이의 두 부분 넓이는 −1/4과 +1/4이므로 $S_1 = 4$, 즉 정확한 적분값을 얻습니다. $(x - m)^4$ 항은 짝함수라 상쇄되지 않습니다. x⁴에서 포물선 하나는 32/5가 아니라 20/3을 주며, 차이는 4/15입니다.

구간들을 더하면 오차는 1/n의 거듭제곱에 따라 변합니다. f가 매끄럽고 오차의 주도항이 0이 아니면, n을 두 배로 늘릴 때 중점과 사다리꼴의 오차는 결국 약 4분의 1(오차 ∝ 1/n²), 심프슨 오차는 약 16분의 1(∝ 1/n⁴)이 됩니다. eˣ에서 n이 1, 2, 4이면 심프슨 오차는 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵, 2.3 × 10⁻⁶입니다. 이 전개에는 f의 매끄러움이 필요합니다. √x는 0에서 수직으로 시작하며 어떤 포물선도 그 무한한 기울기를 따라갈 수 없습니다. 오차는 두 배로 늘릴 때마다 약 $2^{1.5} \approx 2.83$분의 1로만 줄어들고, 거의 전부 첫 구간에서 생깁니다.