Integrazione numerica

Molti integrali non si possono calcolare tramite una primitiva. La primitiva di $e^{-x^2}$ esiste, ma non ha un’espressione in funzioni elementari; i dati misurati non hanno nemmeno una formula. L’integrazione numerica stima $\int_a^b f(x)\,dx$ usando soltanto valori di f. Si divide [a, b] in n intervalli di larghezza $\Delta x = (b - a)/n$, si sostituisce f in ciascuno con una curva semplice p che passa per alcuni dei suoi valori e si sommano le aree con segno sotto p:

La regola del punto medio M traccia una retta orizzontale per $f(m_i)$, quella dei trapezi T la corda tra gli estremi, e quella di Simpson S la parabola per gli estremi e il punto medio: usa quindi 2n + 1 valori di f. Nel grafico p è gialla. La striscia inferiore disegna lo scarto $p(x) - f(x)$, ingrandito; la sua area con segno è l’errore, cioè la somma meno l’integrale. I libri spesso chiamano questo procedimento Simpson con 2n sottointervalli; la somma è la stessa.

Su un intervallo di larghezza h, sviluppiamo f attorno al punto medio. L’errore del punto medio è circa $-h^3 f''/24$, quello dei trapezi circa $+h^3 f''/12$; su intervalli piccoli il primo è quindi quasi −½ del secondo: per sin x con n = 4 sono +0.0523 e −0.1039. Ponderarli nel rapporto 2 : 1 annulla questo termine dominante e, infatti, $S = (2M + T)/3$ esattamente. L’errore restante inizia con $h^5 f^{(4)}/2880$ per intervallo. La striscia lo mostra: per tutte le funzioni qui presenti, lo scarto dei trapezi mantiene il segno, mentre quello di Simpson ha parti positive e negative che quasi si annullano.

La regola di Simpson è esatta anche per le cubiche, non soltanto per le quadratiche. Rispetto al punto medio, $(x - m)^3$ è dispari: il suo integrale sull’intervallo è 0, così come la sua somma di Simpson, perché i pesi 1, 4, 1 sono simmetrici. Per x³ su [0, 2] con un intervallo, la parabola è $3x^2 - 2x$, chiaramente diversa da x³; eppure i due lobi dello scarto hanno aree −1/4 e +1/4, quindi $S_1 = 4$, l’integrale esatto. Il termine $(x - m)^4$ è pari e non si annulla: per x⁴ una parabola dà 20/3 invece di 32/5, con uno scarto di 4/15.

Sommando gli intervalli, gli errori variano come potenze di 1/n. Per una f regolare il cui termine dominante dell’errore sia diverso da zero, raddoppiare n finisce per dividere gli errori del punto medio e dei trapezi per circa 4 (errore ∝ 1/n²), e quello di Simpson per circa 16 (∝ 1/n⁴). Per eˣ, l’errore di Simpson passa per 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵ e 2.3 × 10⁻⁶ quando n vale 1, 2, 4. Lo sviluppo richiede che f sia regolare. √x parte verticalmente da 0; nessuna parabola può riprodurre quella pendenza infinita e l’errore si divide solo per circa $2^{1.5} \approx 2.83$ a ogni raddoppio, provenendo quasi tutto dal primo intervallo.