التكامل العددي

لا يمكن حساب كثير من التكاملات انطلاقًا من دالة أصلية. توجد دالة أصلية لـ ⁦$e^{-x^2}$⁩، لكن لا صيغة لها بالدوال الابتدائية، أما البيانات المقاسة فليس لها صيغة أصلًا. يقدّر التكامل العددي ⁦$\int_a^b f(x)\,dx$⁩ من قيم f وحدها. نقسم ⁦[a, b]⁩ إلى n فترات عرض كل منها ⁦$\Delta x = (b - a)/n$⁩، ونستبدل f على كل فترة بمنحنى بسيط p يمر ببعض قيمها، ثم نجمع المساحات الموقّعة تحت p:

تضع قاعدة المنتصف M مستقيمًا أفقيًا يمر بـ ⁦$f(m_i)$⁩، وقاعدة شبه المنحرف T الوتر الواصل بين الطرفين، وقاعدة سمبسون S القطع المكافئ المار بالطرفين والمنتصف؛ لذا تستخدم ⁦2n + 1⁩ قيمة للدالة f. يظهر p باللون الأصفر. يرسم الشريط السفلي الفرق ⁦$p(x) - f(x)$⁩ مكبّرًا؛ ومساحته الموقّعة هي الخطأ، أي المجموع التقريبي ناقص التكامل. تسمّي الكتب هذا أحيانًا قاعدة سمبسون مع 2n فترة جزئية، لكنه المجموع نفسه.

على فترة عرضها h، نوسّع f حول المنتصف. يبلغ خطأ قاعدة المنتصف نحو ⁦$-h^3 f''/24$⁩ وخطأ شبه المنحرف نحو ⁦$+h^3 f''/12$⁩؛ لذا يكون الأول على الفترات الصغيرة قريبًا من ⁦−½⁩ الثاني: للدالة ⁦sin x⁩ مع ⁦n = 4⁩ هما ⁦+0.0523⁩ و⁦−0.1039⁩. ترجيحهما بنسبة ⁦2 : 1⁩ يلغي هذا الحد الرئيسي، وتتحقق بالفعل العلاقة ⁦$S = (2M + T)/3$⁩ بدقة. يبدأ الخطأ المتبقي على كل فترة بالحد ⁦$h^5 f^{(4)}/2880$⁩. يظهر ذلك في الشريط: فرق شبه المنحرف يحتفظ بإشارة واحدة لكل الدوال هنا، بينما تكاد الأجزاء الموجبة والسالبة في سمبسون تلغي بعضها.

قاعدة سمبسون دقيقة للدوال التكعيبية أيضًا، لا للتربيعية فقط. بالنسبة إلى المنتصف، يكون ⁦$(x - m)^3$⁩ فرديًا، فتكامله على الفترة يساوي 0، وكذلك مجموع سمبسون لأن الأوزان ⁦1, 4, 1⁩ متناظرة. للدالة ⁦x³⁩ على ⁦[0, 2]⁩ بفترة واحدة، يكون القطع المكافئ ⁦$3x^2 - 2x$⁩، وهو مختلف بوضوح عن ⁦x³⁩؛ لكن مساحتي فصّي الفرق هما ⁦−1/4⁩ و⁦+1/4⁩، لذا ⁦$S_1 = 4$⁩، أي التكامل بالضبط. الحد ⁦$(x - m)^4$⁩ زوجي ولا يتلاشى: للدالة ⁦x⁴⁩ يعطي قطع واحد ⁦20/3⁩ بدل ⁦32/5⁩، بفارق ⁦4/15⁩.

بعد جمع الفترات، تتناسب الأخطاء مع قوى ⁦1/n⁩. إذا كانت f ملساء وحدّ الخطأ الرئيسي غير صفري، فإن مضاعفة n تخفّض في النهاية خطأي المنتصف وشبه المنحرف بعامل يقارب 4 (الخطأ ∝ ⁦1/n²⁩)، وخطأ سمبسون بعامل يقارب 16 (∝ ⁦1/n⁴⁩). للدالة ⁦eˣ⁩ يصبح خطأ سمبسون ⁦5.8 × 10⁻⁴⁩ ثم ⁦3.7 × 10⁻⁵⁩ ثم ⁦2.3 × 10⁻⁶⁩ عند ⁦n = 1, 2, 4⁩. يتطلب هذا التوسّع أن تكون f ملساء. تبدأ ⁦√x⁩ عموديًا عند 0، ولا يطابق أي قطع مكافئ هذا الميل اللانهائي؛ فلا ينخفض الخطأ إلا بعامل يقارب ⁦$2^{1.5} \approx 2.83$⁩ لكل مضاعفة، ويأتي معظمه الساحق من الفترة الأولى.