Intégration numérique

De nombreuses intégrales ne peuvent pas se calculer à l’aide d’une primitive. La primitive de $e^{-x^2}$ existe, mais n’a pas d’expression en fonctions élémentaires ; des données mesurées n’ont même pas de formule. L’intégration numérique estime $\int_a^b f(x)\,dx$ à partir des seules valeurs de f. On partage [a, b] en n intervalles de largeur $\Delta x = (b - a)/n$, on remplace f sur chacun par une courbe simple p passant par quelques-unes de ses valeurs, puis on additionne les aires algébriques sous p :

La méthode du point milieu M place une droite horizontale passant par $f(m_i)$, celle des trapèzes T la corde entre les deux extrémités, et celle de Simpson S la parabole passant par les extrémités et le milieu : elle utilise donc 2n + 1 valeurs de f. Sur le graphique, p est en jaune. La bande inférieure représente l’écart $p(x) - f(x)$, agrandi ; son aire algébrique est l’erreur, soit la somme moins l’intégrale. Les manuels parlent souvent de Simpson sur 2n sous-intervalles : c’est la même somme.

Sur un intervalle de largeur h, développons f autour du milieu. L’erreur du point milieu vaut environ $-h^3 f''/24$, celle des trapèzes environ $+h^3 f''/12$ ; sur de petits intervalles, la première vaut donc presque −½ fois la seconde : pour sin x avec n = 4, elles valent +0.0523 et −0.1039. Les pondérer dans le rapport 2 : 1 annule ce terme dominant, et l’on a bien $S = (2M + T)/3$ exactement. L’erreur restante commence à $h^5 f^{(4)}/2880$ par intervalle. La bande le montre : pour toutes les fonctions présentées ici, l’écart des trapèzes garde le même signe, tandis que celui de Simpson comporte des parties positives et négatives qui se compensent presque.

La méthode de Simpson est exacte pour les cubiques aussi, pas seulement pour les quadratiques. Autour du milieu, $(x - m)^3$ est impair : son intégrale sur l’intervalle vaut 0, tout comme sa somme de Simpson, car les poids 1, 4, 1 sont symétriques. Pour x³ sur [0, 2] avec un intervalle, la parabole est $3x^2 - 2x$, clairement différente de x³ ; pourtant, les deux lobes de l’écart ont pour aires −1/4 et +1/4, donc $S_1 = 4$, exactement l’intégrale. Le terme $(x - m)^4$ est pair et ne s’annule pas : pour x⁴, une parabole donne 20/3 au lieu de 32/5, soit un écart de 4/15.

En additionnant les intervalles, les erreurs varient comme des puissances de 1/n. Pour une fonction f régulière dont le terme dominant de l’erreur est non nul, doubler n finit par diviser les erreurs du point milieu et des trapèzes par environ 4 (erreur ∝ 1/n²), et celle de Simpson par environ 16 (∝ 1/n⁴). Pour eˣ, l’erreur de Simpson passe par 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵ et 2.3 × 10⁻⁶ lorsque n vaut 1, 2, 4. Ce développement demande que f soit régulière. √x part verticalement de 0 ; aucune parabole ne peut reproduire cette pente infinie, et l’erreur n’est divisée que par environ $2^{1.5} \approx 2.83$ à chaque doublement, presque toute provenant du premier intervalle.