Численное интегрирование

Многие интегралы нельзя вычислить через первообразную. Первообразная $e^{-x^2}$ существует, но не выражается через элементарные функции, а данные измерений вообще не имеют формулы. Численное интегрирование оценивает $\int_a^b f(x)\,dx$ только по значениям f. Разобьём [a, b] на n интервалов шириной $\Delta x = (b - a)/n$, заменим f на каждом из них простой кривой p через несколько её значений и сложим площади со знаком под p:

Правило средней точки M проводит горизонтальную прямую через $f(m_i)$, правило трапеций T — хорду между концами, а правило Симпсона S — параболу через концы и середину, поэтому оно использует 2n + 1 значение f. На графике p показана жёлтым. Полоса внизу изображает увеличенную разность $p(x) - f(x)$; её площадь со знаком — это погрешность, сумма минус интеграл. В учебниках это часто называют правилом Симпсона с 2n подынтервалами; сумма та же.

На интервале шириной h разложим f около середины. Погрешность средней точки составляет примерно $-h^3 f''/24$, а трапеций — примерно $+h^3 f''/12$, поэтому на малых интервалах первая близка к −½ второй: для sin x при n = 4 это +0.0523 и −0.1039. Взвешивание в отношении 2 : 1 устраняет этот главный член, и действительно, $S = (2M + T)/3$ точно. Оставшаяся погрешность начинается с $h^5 f^{(4)}/2880$ на интервал. Это видно на полосе: у всех представленных функций разность трапеций сохраняет знак, а положительные и отрицательные части разности Симпсона почти компенсируются.

Правило Симпсона точно и для кубических полиномов, а не только для квадратичных. Относительно середины $(x - m)^3$ нечётна: её интеграл по интервалу равен 0, как и сумма Симпсона, поскольку веса 1, 4, 1 симметричны. Для x³ на [0, 2] с одним интервалом парабола равна $3x^2 - 2x$ и явно отличается от x³, но две области разности имеют площади −1/4 и +1/4, поэтому $S_1 = 4$, в точности интеграл. Член $(x - m)^4$ чётный и не сокращается: для x⁴ одна парабола даёт 20/3 вместо 32/5, с отклонением на 4/15.

После сложения интервалов погрешности меняются как степени 1/n. Для гладкой f с ненулевым главным членом погрешности удвоение n в итоге уменьшает погрешности средней точки и трапеций примерно в 4 раза (погрешность ∝ 1/n²), а Симпсона — примерно в 16 раз (∝ 1/n⁴). Для eˣ погрешность Симпсона проходит значения 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵, 2.3 × 10⁻⁶ при n = 1, 2, 4. Разложение требует гладкости f. √x начинается вертикально в 0, парабола не может воспроизвести этот бесконечный наклон, и погрешность уменьшается лишь примерно в $2^{1.5} \approx 2.83$ раза при удвоении, почти целиком приходясь на первый интервал.