数値積分

原始関数を使って計算できない積分はたくさんあります。$e^{-x^2}$の原始関数は存在しますが初等関数では表せず、測定データにはそもそも式がありません。数値積分はfの値だけから$\int_a^b f(x)\,dx$を近似します。[a, b]を幅$\Delta x = (b - a)/n$のn個の小区間に分け、各区間でfをいくつかの値を通る簡単な曲線pに置き換え、その下の符号付き面積を足します。

中点則Mは$f(m_i)$を通る水平線、台形則Tは両端を結ぶ弦、シンプソン則Sは両端と中点を通る放物線を使います。したがってSが使うfの値は2n + 1個です。図のpは黄色です。下の細い図は差$p(x) - f(x)$を拡大したもので、その符号付き面積が誤差、つまり近似和から積分値を引いた値です。教科書ではこれを「2n個の小区間でのシンプソン則」と呼ぶこともありますが、同じ和を計算しています。

幅hの小区間で、fを中点のまわりに展開します。中点則の誤差は約$-h^3 f''/24$、台形則は約$+h^3 f''/12$なので、小区間が十分小さければ前者は後者の約−½です。sin x、n = 4では+0.0523と−0.1039になります。2 : 1で重み付けするとこの主要項が消え、実際に$S = (2M + T)/3$が厳密に成り立ちます。残る誤差は、小区間ごとに$h^5 f^{(4)}/2880$の項から始まります。下の図でも、このページのどの関数でも台形の差は同じ符号を保つ一方、シンプソン則の正と負の部分はほぼ打ち消し合っています。

シンプソン則は二次関数だけでなく三次関数にも厳密です。中点を基準にすると$(x - m)^3$は奇関数なので、小区間上の積分は0です。重み1, 4, 1が対称なため、シンプソン則の和も0になります。[0, 2]上のx³を一つの小区間で扱うと、放物線は$3x^2 - 2x$で、明らかにx³とは違います。それでも差の二つの部分の面積は−1/4と+1/4なので、$S_1 = 4$となり積分値に厳密に一致します。$(x - m)^4$の項は偶関数で打ち消し合いません。x⁴では一つの放物線による値が32/5ではなく20/3となり、4/15ずれます。

小区間を足し合わせた誤差は、1/nのべきに比例して減ります。fが滑らかで主要な誤差項が0でなければ、nを2倍にしたとき中点則と台形則の誤差はやがて約1/4（誤差 ∝ 1/n²）、シンプソン則では約1/16（∝ 1/n⁴）になります。eˣではn = 1, 2, 4に対してシンプソン則の誤差は5.8 × 10⁻⁴、3.7 × 10⁻⁵、2.3 × 10⁻⁶です。この展開にはfの滑らかさが必要です。√xは0から垂直に立ち上がり、その無限大の傾きを放物線では再現できません。分割数を2倍にしても誤差は約$2^{1.5} \approx 2.83$分の1にしかならず、ほとんどが最初の小区間から生じます。