數值積分

許多積分無法靠反導函數算出來。$e^{-x^2}$的反導函數存在，卻無法用初等函數表示；實測資料甚至沒有公式。數值積分只靠f的函數值估計$\int_a^b f(x)\,dx$。將[a, b]分成n段，每段寬$\Delta x = (b - a)/n$；在各段上，以通過少數函數值的簡單曲線p代替f，再將p下的有向面積相加：

中點法M使用通過$f(m_i)$的水平線；梯形法T使用連接兩端的弦；辛普森法S使用通過兩端和中點的拋物線，因此總共使用f的2n + 1個值。圖中的p是黃色。下方窄圖將差$p(x) - f(x)$放大，它的有向面積就是誤差，也就是近似和減去積分值。課本常把這稱為使用2n個小區間的辛普森法，算的是同一個和。

在寬度為h的一段上，將f在中點附近展開。中點法的誤差約為$-h^3 f''/24$，梯形法約為$+h^3 f''/12$，所以小區間上前者接近後者的−½。對sin x取n = 4時，兩者分別是+0.0523和−0.1039。按2 : 1加權可消掉這個主要項，而且$S = (2M + T)/3$確實精確成立。剩餘誤差在每段從$h^5 f^{(4)}/2880$這一項開始。下方窄圖也看得出來：這裡每個函數的梯形誤差區域都保持同一符號，辛普森法則有正、負兩部分，幾乎相互抵銷。

辛普森法不只對二次函數精確，對三次函數也一樣。以中點為基準，$(x - m)^3$是奇函數，整段上的積分為0；由於權重1, 4, 1對稱，辛普森法的和也為0。在[0, 2]上以一段處理x³，拋物線是$3x^2 - 2x$，顯然不是x³；但差的兩瓣面積為−1/4和+1/4，因此$S_1 = 4$，恰好等於積分值。$(x - m)^4$這一項是偶函數，不會抵銷：對x⁴，一條拋物線給出20/3而非32/5，相差4/15。

將各段相加後，誤差按1/n的冪次縮小。若f光滑且主要誤差項不為0，n每加倍一次，中點法和梯形法的誤差最終縮小約4倍（誤差 ∝ 1/n²），辛普森法約16倍（∝ 1/n⁴）。對eˣ，n取1、2、4時，辛普森法的誤差為5.8 × 10⁻⁴、3.7 × 10⁻⁵、2.3 × 10⁻⁶。這個展開需要f光滑。√x在0處垂直起步，拋物線無法符合無窮大的斜率；段數每加倍，誤差只縮小約$2^{1.5} \approx 2.83$倍，而且幾乎全都來自第一段。