Integrasi numerik

Banyak integral tidak dapat dihitung melalui antiturunan. Antiturunan $e^{-x^2}$ ada, tetapi tidak mempunyai rumus dalam fungsi elementer; data pengukuran bahkan tidak mempunyai rumus. Integrasi numerik memperkirakan $\int_a^b f(x)\,dx$ hanya dari nilai-nilai f. Bagi [a, b] menjadi n interval selebar $\Delta x = (b - a)/n$, gantikan f pada tiap interval dengan kurva sederhana p melalui beberapa nilainya, lalu jumlahkan luas bertanda di bawah p:

Aturan titik tengah M memakai garis mendatar melalui $f(m_i)$, aturan trapesium T memakai tali busur antara kedua ujung, dan aturan Simpson S memakai parabola melalui kedua ujung dan titik tengah, sehingga memerlukan 2n + 1 nilai f. Pada gambar, p berwarna kuning. Pita di bawah grafik menggambar selisih $p(x) - f(x)$, diperbesar; luas bertandanya adalah galat, yaitu hasil penjumlahan dikurangi integral. Buku ajar sering menyebutnya aturan Simpson dengan 2n subinterval; hasil penjumlahannya sama.

Pada interval selebar h, kembangkan f di sekitar titik tengah. Galat aturan titik tengah kira-kira $-h^3 f''/24$, sedangkan galat trapesium kira-kira $+h^3 f''/12$, sehingga pada interval kecil yang pertama hampir −½ kali yang kedua: untuk sin x dengan n = 4, nilainya +0.0523 dan −0.1039. Pembobotan 2 : 1 meniadakan suku utama itu, dan memang $S = (2M + T)/3$ berlaku tepat. Galat yang tersisa dimulai dari $h^5 f^{(4)}/2880$ per interval. Pita memperlihatkannya: pada setiap fungsi di sini, selisih trapesium tetap bertanda sama, sedangkan selisih Simpson mempunyai bagian positif dan negatif yang hampir saling meniadakan.

Aturan Simpson juga eksak untuk fungsi kubik, bukan hanya kuadratik. Terhadap titik tengah, $(x - m)^3$ bersifat ganjil: integralnya pada interval adalah 0, begitu pula jumlah Simpson untuknya, karena bobot 1, 4, 1 simetris. Untuk x³ pada [0, 2] dengan satu interval, parabolanya adalah $3x^2 - 2x$, jelas berbeda dari x³; tetapi dua bagian selisihnya memiliki luas −1/4 dan +1/4, sehingga $S_1 = 4$, tepat sama dengan integralnya. Suku $(x - m)^4$ bersifat genap dan tidak saling meniadakan: untuk x⁴, satu parabola memberi 20/3, bukan 32/5, meleset 4/15.

Setelah semua interval dijumlahkan, galat mengikuti pangkat-pangkat 1/n. Untuk f yang mulus dengan suku utama galat tidak nol, menggandakan n pada akhirnya mengecilkan galat titik tengah dan trapesium sekitar 4 kali (galat ∝ 1/n²), serta galat Simpson sekitar 16 kali (∝ 1/n⁴). Untuk eˣ, galat Simpson menjadi 5.8 × 10⁻⁴, 3.7 × 10⁻⁵, dan 2.3 × 10⁻⁶ saat n bernilai 1, 2, 4. Pengembangan ini memerlukan f yang mulus. √x berawal tegak di 0; tidak ada parabola yang menyamai kemiringan tak hingga itu, dan galat hanya mengecil sekitar $2^{1.5} \approx 2.83$ kali setiap penggandaan, hampir semuanya berasal dari interval pertama.