自然数

自然数是数个数用的数：$0, 1, 2, 3, \dots$，从0开始，每次加1一直数下去，没有最大的。自然数的全体记作$\mathbb{N}$。在这一页，你选两个自然数$a$、$b$和一种运算：小圆片把运算做出来，数轴上看结果落在哪，0到20所有$a$、$b$的运算表上看结果什么时候还是自然数。

数学上没有统一的约定。本页按国际标准ISO 80000-2把0算进去：一个也没有时，个数就是0。也有不少书从1开始。需要说清楚时，用不会有歧义的名字：非负整数$\{0, 1, 2, \dots\}$，常记作$\mathbb{N}_0$；正整数$\{1, 2, 3, \dots\}$，常记作$\mathbb{N}^{+}$或$\mathbb{Z}^{+}$。读别处的公式，先看它用的是哪一种。

两堆合成一堆再数，数出来的还是个数；$a$行每行$b$个也一样：自然数的和与积都是自然数，加法表、乘法表整张都亮。拿走要够拿才行：$a - b$是自然数，恰好在$a \ge b$的时候，也就是减法表的对角线和它下面。

当$b > 0$时，把$a$个平均分成$b$份，只有$b$整除$a$时才正好分完。分不完时，自然数里仍能说清结果，这就是带余除法：$a = qb + r$，$q$、$r$是自然数，$0 \le r < b$。7个分成2份，每份3个，余1个，$7 = 3 \times 2 + 1$。把余下的1个也分掉，每份是$3 + \tfrac{1}{2}$，所以商$7 \div 2 = 3.5$在3和4之间。除以0是另一回事。$a \div b$是乘$b$得$a$的那个数，而任何数乘0都是0。所以$a \ne 0$时$a \div 0$没有值，$0 \div 0$得不出唯一的值。两种都是没有意义：不是自然数以外的某个数，而是根本没有结果。

为了让减法总能做，数扩充成整数$\mathbb{Z}$，添上$-1, -2, \dots$；为了让除以非零数总能做，再扩充成有理数$\mathbb{Q}$。除以0在哪一层都没有意义。