자연수

자연수는 개수를 세는 수 $0, 1, 2, 3, \dots$입니다. 0에서 시작해 1씩 더하며, 가장 큰 수는 없습니다. 그 집합을 $\mathbb{N}$으로 씁니다. 여기서는 두 자연수 $a$, $b$와 사칙연산 중 하나를 선택합니다. 조각으로 연산하고, 수직선에 결과를 표시하며, 0부터 20까지 모든 $a$, $b$의 표로 결과가 다시 자연수가 되는 경우를 보여 줍니다.

보편적으로 통일된 약속은 없습니다. 이 페이지는 0을 포함하는 국제 표준 ISO 80000-2를 따릅니다. 아무것도 없으면 개수는 0입니다. 반면 많은 책은 1부터 시작합니다. 구분이 중요할 때는 명확한 이름을 씁니다. 음이 아닌 정수 $\{0, 1, 2, \dots\}$는 흔히 $\mathbb{N}_0$, 양의 정수 $\{1, 2, 3, \dots\}$는 흔히 $\mathbb{N}^{+}$ 또는 $\mathbb{Z}^{+}$로 씁니다. 다른 곳에서 공식을 읽기 전에 어느 뜻인지 확인하세요.

두 무리를 합쳐 세어도 개수가 나오고, $b$개씩 $a$줄을 만들어도 마찬가지입니다. 자연수의 합과 곱은 자연수여서 덧셈표와 곱셈표 전체가 빛납니다. 빼려면 충분한 개수가 있어야 합니다. $a - b$가 자연수인 것은 정확히 $a \ge b$일 때이며, 뺄셈표의 대각선과 그 아래 칸에 해당합니다.

$b > 0$일 때 $a$개를 $b$묶음에 똑같이 나누어 나머지가 없으려면 $b$가 $a$를 나누어떨어지게 해야 합니다. 그렇지 않아도 자연수로 나머지가 있는 나눗셈을 나타낼 수 있습니다. $a = qb + r$에서 $q$, $r$는 자연수이고 $0 \le r < b$입니다. 7개를 2묶음으로 나누면 묶음마다 3개, 나머지 1개로 $7 = 3 \times 2 + 1$입니다. 남은 1개도 나누면 각 묶음은 $3 + \tfrac{1}{2}$가 되므로 몫 $7 \div 2 = 3.5$은 3과 4 사이입니다. 0으로 나누기는 다른 문제입니다. $a \div b$는 $b$을 곱했을 때 $a$가 되는 수인데, 어떤 수에 0을 곱해도 0입니다. 따라서 $a \ne 0$일 때 $a \div 0$에는 값이 없고, $0 \div 0$에는 유일한 값이 없습니다. 두 경우 모두 정의되지 않습니다. 자연수 바깥의 수가 아니라 결과 자체가 없는 것입니다.

모든 뺄셈을 할 수 있도록 $-1, -2, \dots$를 더한 정수 $\mathbb{Z}$로 수를 확장합니다. 0이 아닌 모든 수로 나눌 수 있도록 하려면 유리수 $\mathbb{Q}$로 확장합니다. 어느 단계에서도 0으로 나누기는 정의되지 않습니다.