自然數

自然數是計數用的數：$0, 1, 2, 3, \dots$，從0開始，每次加1，沒有最大的數。其集合記為$\mathbb{N}$。本頁可選兩個自然數$a$與$b$，以及四則運算之一：小圓片實際做出運算，數線標示結果的位置，而0到20的所有$a$與$b$的表格顯示結果何時仍是自然數。

沒有統一的約定。本頁依國際標準ISO 80000-2將0納入：沒有東西時，數量就是0。也有許多書從1開始。需要區分時，可使用明確的名稱：非負整數 $\{0, 1, 2, \dots\}$，常記為$\mathbb{N}_0$；以及正整數 $\{1, 2, 3, \dots\}$，常記為$\mathbb{N}^{+}$或$\mathbb{Z}^{+}$。在其他地方閱讀公式前，先確認採用哪一種約定。

兩堆合在一起再數，仍得到個數；$a$列、每列$b$個也一樣。因此自然數的和與積仍是自然數，加法表與乘法表全部亮起。拿走東西必須有足夠數量：$a - b$是自然數，恰好等同於$a \ge b$，對應減法表的對角線與下方格子。

當$b > 0$，將$a$個物件平均分成$b$組，只有$b$整除$a$時才正好分完。否則仍可用自然數透過有餘數的除法描述：$a = qb + r$，其中$q$、$r$是自然數，且$0 \le r < b$。7個分成2組，每組3個、餘1個，即$7 = 3 \times 2 + 1$。餘下的1個也分掉，每組得到$3 + \tfrac{1}{2}$，所以商$7 \div 2 = 3.5$在3與4之間。除以0則不同：$a \div b$是乘$b$得$a$的數，而任何數乘0都是0。因此$a \ne 0$時，$a \div 0$沒有值；$0 \div 0$則沒有唯一的值。兩種情況都未定義：不是自然數以外的數，而是根本沒有結果。

為了讓所有減法都能進行，將數擴充到加入$-1, -2, \dots$的整數 $\mathbb{Z}$；為了能除以任何非零數，再擴充到有理數 $\mathbb{Q}$。在每個階段，除以0仍未定義。