Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen zum Zählen: $0, 1, 2, 3, \dots$, beginnend bei 0 und jeweils um 1 weiter, ohne größte Zahl. Ihre Menge wird $\mathbb{N}$ geschrieben. Hier wählst du zwei davon, $a$ und $b$, und eine der vier Rechenoperationen: Plättchen führen sie aus, die Zahlengerade zeigt die Lage des Ergebnisses, und eine Tabelle aller $a$ und $b$ von 0 bis 20 zeigt, wann es wieder eine natürliche Zahl ist.

Es gibt keine einheitliche Konvention. Diese Seite folgt der internationalen Norm ISO 80000-2 und schließt 0 ein: Ist nichts vorhanden, ist die Anzahl 0. Viele Bücher beginnen stattdessen bei 1. Wo es darauf ankommt, helfen eindeutige Bezeichnungen: die nichtnegativen ganzen Zahlen $\{0, 1, 2, \dots\}$, oft $\mathbb{N}_0$ geschrieben, und die positiven ganzen Zahlen $\{1, 2, 3, \dots\}$, oft $\mathbb{N}^{+}$ oder $\mathbb{Z}^{+}$. Prüfe bei Formeln anderswo, welche Menge gemeint ist.

Zwei Sammlungen zusammenlegen und zählen ergibt wieder eine Anzahl, ebenso $a$ Reihen mit je $b$: Summen und Produkte natürlicher Zahlen sind natürlich, die Additions- und Multiplikationstabellen leuchten überall. Wegnehmen geht nur, wenn genug da ist: $a - b$ ist genau dann natürlich, wenn $a \ge b$. Das entspricht der Diagonale der Subtraktionstabelle und den Feldern darunter.

Für $b > 0$ lässt sich eine Anzahl $a$ genau dann ohne Rest auf $b$ Gruppen verteilen, wenn $b$ die Zahl $a$ teilt. Sonst beschreiben natürliche Zahlen das Ergebnis durch Division mit Rest: $a = qb + r$ mit natürlichen Zahlen $q$, $r$ und $0 \le r < b$. Sieben auf zwei Gruppen verteilt ergibt je 3 und Rest 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Teilt man auch das übrig gebliebene Plättchen, erhält jede Gruppe $3 + \tfrac{1}{2}$; der Quotient $7 \div 2 = 3.5$ liegt also zwischen 3 und 4. Division durch 0 ist etwas anderes: $a \div b$ ist die Zahl, die mit $b$ multipliziert $a$ ergibt, und jede Zahl mal 0 ist 0. Daher hat $a \div 0$ für $a \ne 0$ keinen Wert; $0 \div 0$ hat keinen eindeutigen Wert. In beiden Fällen ist das Ergebnis undefiniert: keine Zahl außerhalb der natürlichen Zahlen, sondern überhaupt kein Ergebnis.

Damit jede Subtraktion möglich wird, erweitert man zu den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und nimmt $-1, -2, \dots$ hinzu; damit jede Division durch eine von null verschiedene Zahl möglich wird, zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$. Division durch 0 bleibt auf jeder Stufe undefiniert.