Numero naturale

I numeri naturali servono per contare: $0, 1, 2, 3, \dots$, partendo da 0 e aggiungendo 1 ogni volta, senza un numero massimo. Il loro insieme si indica con $\mathbb{N}$. Qui ne scegli due, $a$ e $b$, e una delle quattro operazioni: i gettoni la eseguono, la retta numerica colloca il risultato e la tabella di tutti gli $a$ e $b$ da 0 a 20 mostra quando è ancora naturale.

Non esiste una convenzione universale. Questa pagina segue lo standard internazionale ISO 80000-2, che include 0: se non c’è nulla, la quantità è 0. Molti libri iniziano invece da 1. Quando la distinzione conta, si usano nomi inequivocabili: gli interi non negativi $\{0, 1, 2, \dots\}$, spesso indicati con $\mathbb{N}_0$, e gli interi positivi $\{1, 2, 3, \dots\}$, spesso indicati con $\mathbb{N}^{+}$ o $\mathbb{Z}^{+}$. Prima di leggere altrove una formula, verifica quale insieme intende.

Unire due collezioni e contarle dà ancora una quantità, così come $a$ righe da $b$: somme e prodotti di naturali sono naturali e le tabelle di addizione e moltiplicazione si illuminano interamente. Si può togliere solo se c’è abbastanza: $a - b$ è naturale esattamente quando $a \ge b$, cioè sulla diagonale della tabella di sottrazione e nelle celle sottostanti.

Quando $b > 0$, distribuire $a$ oggetti in $b$ gruppi uguali è esatto solo se $b$ divide $a$. Altrimenti i naturali descrivono comunque il risultato con la divisione con resto: $a = qb + r$, con naturali $q$, $r$ e $0 \le r < b$. Sette oggetti in due gruppi danno 3 per gruppo e resto 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Dividendo anche quell’1, ciascun gruppo riceve $3 + \tfrac{1}{2}$, quindi il quoziente $7 \div 2 = 3.5$ è tra 3 e 4. La divisione per 0 è diversa: $a \div b$ è il numero che moltiplicato per $b$ dà $a$, e qualsiasi numero per 0 dà 0. Quindi $a \div 0$ non ha valore quando $a \ne 0$, e $0 \div 0$ non ha un valore unico. In entrambi i casi è indefinito: non un numero fuori dai naturali, ma nessun risultato.

Per rendere possibile ogni sottrazione si estendono i numeri agli interi $\mathbb{Z}$, aggiungendo $-1, -2, \dots$; per ogni divisione per un numero non nullo, ai razionali $\mathbb{Q}$. La divisione per 0 rimane indefinita a ogni passaggio.