Número natural

Os números naturais são os usados para contar: $0, 1, 2, 3, \dots$, começando em 0 e acrescentando 1, sem um número máximo. O seu conjunto escreve-se $\mathbb{N}$. Aqui escolhes dois deles, $a$ e $b$, e uma das quatro operações: as fichas efetuam-na, a reta numérica localiza o resultado e uma tabela de todos os $a$ e $b$ de 0 a 20 mostra quando este volta a ser natural.

Não há uma convenção universal. Esta página segue a norma internacional ISO 80000-2, que inclui 0: quando não há nada, a quantidade é 0. Muitos livros começam em 1. Quando a distinção importa, usam-se nomes inequívocos: os inteiros não negativos $\{0, 1, 2, \dots\}$, frequentemente escritos $\mathbb{N}_0$, e os inteiros positivos $\{1, 2, 3, \dots\}$, frequentemente escritos $\mathbb{N}^{+}$ ou $\mathbb{Z}^{+}$. Antes de leres uma fórmula noutro sítio, verifica qual o conjunto referido.

Juntar duas coleções e contá-las volta a dar uma quantidade, tal como $a$ filas de $b$: somas e produtos de naturais são naturais e as tabelas da adição e da multiplicação iluminam-se por inteiro. Só se pode tirar se houver o suficiente: $a - b$ é natural exatamente quando $a \ge b$, o que corresponde à diagonal da tabela da subtração e às células abaixo.

Quando $b > 0$, repartir $a$ objetos igualmente por $b$ grupos só é exato se $b$ dividir $a$. Caso contrário, os naturais ainda descrevem o resultado pela divisão com resto: $a = qb + r$, com naturais $q$, $r$ e $0 \le r < b$. Sete objetos por dois grupos dão 3 em cada um e resto 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Dividindo também esse 1, cada grupo recebe $3 + \tfrac{1}{2}$, pelo que o quociente $7 \div 2 = 3.5$ fica entre 3 e 4. A divisão por 0 é diferente: $a \div b$ é o número que, multiplicado por $b$, dá $a$, e qualquer número por 0 dá 0. Assim, $a \div 0$ não tem valor quando $a \ne 0$, e $0 \div 0$ não tem um valor único. Nos dois casos está indefinido: não é um número fora dos naturais, mas a ausência de resultado.

Para tornar possível qualquer subtração, estendem-se os números aos inteiros $\mathbb{Z}$, acrescentando $-1, -2, \dots$; para qualquer divisão por um número não nulo, aos racionais $\mathbb{Q}$. A divisão por 0 continua indefinida em todas as etapas.