Conjetura de Collatz

Escrita como aplicação, a regra da conjetura de Collatz é

Um voo parte de $n$, passa por $f(n)$, $f(f(n))$ e assim sucessivamente, e termina quando chega a 1, pois a partir daí só percorreria o ciclo 1 → 4 → 2 → 1. A conjetura diz que todos os inteiros positivos lá chegam. Aqui podes pôr inteiros a voar, mesmo com centenas de algarismos, sozinhos ou em grupo. Podes compará-los com o argumento aproximado que torna a conjetura tão plausível e perceber por que razão esse argumento não é uma demonstração.

Na horizontal está o número de passos e na vertical o valor, numa escala logarítmica, a menos que escolhas Linear, que dá a conhecida imagem de granizo. Cada número do grupo é uma linha colorida, pelo que um trecho percorrido por muitos números tem uma coloração mais intensa: mais luminosa num fundo escuro e mais escura num fundo claro. O número observado fica destacado, com um ponto vermelho na posição atual. Os voos são difíceis de prever: 27 sobe até 9 232 e precisa de 111 passos para chegar a 1, enquanto 28 precisa de 18.

Porque se acredita nela? Um passo ímpar dá sempre um número par, por isso juntamo-lo à divisão por dois que se segue num só passo abreviado. Suponhamos agora que as paridades destes passos são lançamentos independentes de uma moeda equilibrada. Metade das vezes, $n$ é multiplicado por cerca de 3/2 e, na outra metade, por 1/2. Assim, em média, um passo abreviado altera $\ln n$ em

Os números deveriam então diminuir, tipicamente para 3/4 do valor anterior a cada dois passos abreviados. No eixo logarítmico, esta deriva é a linha tracejada, desenhada para um grupo de Grandeza semelhante com pelo menos 100 números. Não considera a aterragem: os números que chegam a 1 ficam no chão, pelo que, perto do fim, a altura média do grupo neste eixo desce mais devagar do que a linha.

Os lançamentos da moeda são apenas um modelo do comportamento médio dos números. A conjetura fala de todos os inteiros positivos: um único voo que nunca chegasse a 1 bastaria para a refutar.

Os números negativos mostram o que falta ao argumento. A mesma regra produz ciclos entre eles, e conhecem-se três, como −5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5. O modelo da moeda também prevê uma diminuição nesse caso, mas percorrer uma vez qualquer ciclo altera $\log|n|$ em exatamente 0. Uma deriva média descendente não pode excluir um ciclo, nem mesmo entre os números positivos.

Coral inverte os voos: crescendo para trás a partir de 1, os percursos de um grupo formam uma árvore. Cada aresta roda em relação à anterior $+\alpha$ se o novo número for par e $-\alpha \log_2 3$ se for ímpar, com α definido por Curvatura. Ao recuar a partir de 1, um passo par duplica o número e aumenta o seu $\log_2$ em 1; um passo ímpar diminui-o em um pouco mais do que $\log_2 3$. Assim, a aresta que chega a n rodou, no total, $\alpha \log_2 n$ a partir da vertical para cima, mais um pouco por cada passo ímpar: a sua rotação regista a grandeza de n. Ao longo de um ramo, a direção sobe e desce com os números de um voo, pelo que cada ramo é um voo enrolado. Os ramos unem-se onde os voos se encontram. Nestes termos, a conjetura diz que a árvore que cresce a partir de 1 contém todos os inteiros positivos.

O problema é geralmente atribuído a Lothar Collatz, que colocou questões deste género na década de 1930. O coral segue a «Collatz seaweed» de Edmund Harriss (2016).