考拉兹猜想

写成映射，考拉兹猜想的规则是

一次飞行从$n$出发，经过$f(n)$、$f(f(n))$……落到1就停，因为再往下只会在1 → 4 → 2 → 1里转圈。猜想说的是：每个正整数最后都会落到1。在这一页，你可以让整数单独飞，也可以一群一起飞，几百位的也行。你可以拿它们对照那个让人很难不信这个猜想的粗略论证，再看这个论证为什么不是证明。

横轴是步数，纵轴是值，默认用对数刻度；选“原值”就是常见的冰雹图。一群里的每个数是一条彩线，许多数走过的那一段颜色更浓：深色画面上越亮，浅色画面上越深。查看的数突出显示，红点是它此刻的位置。飞行很难猜：27冲到9 232，要111步才落到1，28却只要18步。

人们为什么相信它？奇数步的结果一定是偶数，所以把奇数步和紧跟着的除以2合起来，算一个捷径步。再假设这些捷径步的奇偶像独立地抛均匀的硬币。一半时候$n$大约乘以3/2，一半时候乘以1/2，所以平均每个捷径步，$\ln n$变化

这样数就应该越来越小，通常每两个捷径步缩成3/4。对数纵轴上，这个漂移就是那条虚线，只在“同样大小”、一群至少100个数时画。它不管落地：落到1的数停在底线上，所以快到底时，一群在这条轴上的平均高度比虚线降得慢。

可抛硬币只是一个模型，描述的是数的平均表现。猜想讲的却是每一个正整数，只要有一次飞行永远到不了1，它就不成立。

负数让这个论证漏掉的东西露了出来。同一条规则用在负数上会转圈，已知有三个圈，比如−5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5。抛硬币的估计在那里同样预测收缩，可是绕任何一个圈走一周，$\log|n|$的变化恰好是0。所以平均往下漂排除不了圈，在正整数里也一样。

“珊瑚”把飞行倒过来：从1倒着长，一群数的路径合成一棵树。每条边在上一条边的基础上转一个角：新的数是偶数就转$+\alpha$，是奇数就转$-\alpha \log_2 3$，α由“弯曲”设定。从1倒着走，偶数步把数翻倍，$\log_2$增加1；奇数步让它减少的量比$\log_2 3$稍多一点。所以通向n的那条边，从竖直向上算起一共转了$\alpha \log_2 n$，每个奇数步再多转一点：转了多少记着n的大小。沿着一根枝，方向随一次飞行里的数起伏，所以每根枝都是一段卷起来的飞行。飞行相遇的地方，枝就并在一起。用树来说，猜想就是：从1长出的树包含所有正整数。

这个问题一般归于洛塔尔·考拉兹，他在1930年代提过这类问题。珊瑚这种画法来自埃德蒙·哈里斯的“考拉兹海藻”（2016）。