考拉茲猜想

寫成映射，考拉茲猜想的規則是

一次飛行從$n$出發，經過$f(n)$、$f(f(n))$等，抵達1便結束，因為之後只會在1→4→2→1之間循環。猜想認為每個正整數都會到達這裡。在這裡，你可以讓整數單獨飛行，或一群一起飛，甚至可以是數百位的整數。你可以把它們與那個讓猜想顯得可信的粗略論證對照，看看為何這個論證不是證明。

橫軸是步數，縱軸是數值，預設採用對數刻度；選擇原值，就會得到常見的冰雹圖。群體中的每個數都是一條彩色線，因此許多數經過的區段顏色更濃：深色畫面上更亮，淺色畫面上更深。目前查看的數會突出顯示，紅點標出它此刻的位置。飛行很難預測：27會升到9232，要走111步才到1，28卻只要18步。

為什麼人們相信它？奇數步一定產生偶數，因此把它與隨後的除以2合併，算成一個捷徑步。現在假設這些步驟的奇偶，如同彼此獨立地擲一枚均勻硬幣。一半時候$n$大約乘以3/2，另一半乘以1/2，因此平均一個捷徑步，$\ln n$會改變

如此一來，數應該會縮小，通常每兩個捷徑步變成原來的3/4。在對數軸上，這個漂移就是那條虛線，只在同一量級、群體至少有100個數時繪出。它不考慮落地：抵達1的數會停在底線，因此接近結束時，群體在這條軸上的平均高度會比虛線下降得慢。

擲硬幣只是描述數的平均行為的模型。猜想說的卻是每一個正整數，只要有一次飛行永遠到不了1，就足以推翻它。

負數顯示出這個論證遺漏的部分。同樣的規則在負數上會形成循環，目前已知三個，例如−5→−14→−7→−20→−10→−5。硬幣模型在這裡也預測收縮，但繞任一循環一圈後，$\log|n|$的變化恰好是0。平均向下漂移無法排除循環，在正數中也是如此。

珊瑚圖把飛行反過來：從1往回生長，一群數的路徑形成一棵樹。若新數是偶數，每條邊便相對前一條邊轉$+\alpha$；若是奇數，則轉$-\alpha \log_2 3$，其中α由彎曲角設定。從1往回走時，偶數步把數加倍，讓它的$\log_2$增加1；奇數步則讓這個對數減少比$\log_2 3$稍多的量。因此通向n的邊，從鉛直向上算起，總共轉了$\alpha \log_2 n$，每個奇數步再多加一點：轉角記錄了n的大小。沿著一條枝，方向隨一次飛行的數值起伏，因此每條枝都是捲起來的飛行。飛行相遇處，枝條也會合流。用這種說法，猜想就是：從1長出的樹包含每個正整數。

這個問題一般歸於洛塔爾・考拉茲，他在1930年代提出過這類問題。珊瑚的畫法沿用埃德蒙・哈里斯的「Collatz seaweed」（2016）。