Collatz varsayımı

Bir dönüşüm olarak yazıldığında Collatz sanısının kuralı

Bir uçuş $n$ ile başlayıp $f(n)$, $f(f(n))$ ve benzeri değerlerden geçer; 1’e ulaştığında biter, çünkü sonrasında yalnızca 1 → 4 → 2 → 1 döngüsünde dolaşacaktır. Sanı, her pozitif tam sayının oraya ulaştığını söyler. Burada yüzlerce basamaklı bile olsa tam sayıları tek başına veya bir topluluk hâlinde uçurabilirsin. Onları sanıyı bu kadar inandırıcı kılan kaba akıl yürütmeyle karşılaştırabilir ve bu akıl yürütmenin neden bir kanıt olmadığını görebilirsin.

Yatay eksen adım sayısı, dikey eksen değerdir. Bildik dolu tanesi görüntüsünü veren Doğrudan seçilmedikçe dikey eksen logaritmiktir. Topluluktaki her sayı renkli bir çizgidir; dolayısıyla birçok sayının geçtiği bölüm daha yoğun görünür: koyu zeminde daha parlak, açık zeminde daha koyu. İncelenen sayı vurgulanır ve o anki konumu kırmızı bir noktayla gösterilir. Uçuşları tahmin etmek zordur: 27, 9.232’ye çıkar ve 1’e ulaşmak için 111 adım atar; 28 ise 18 adımda ulaşır.

Neden inanılır? Tek sayı adımı her zaman çift sayı verir; bu yüzden onu ardından gelen ikiye bölmeyle birleştirip tek bir kısaltılmış adım sayalım. Şimdi bu adımların tek-çift durumlarını, adil bir paranın bağımsız atışları gibi varsayalım. Zamanın yarısında $n$ yaklaşık 3/2 ile, diğer yarısında 1/2 ile çarpılır. Dolayısıyla bir kısaltılmış adımın $\ln n$ üzerindeki ortalama değişimi

Böylece sayıların küçülmesi, tipik olarak her iki kısaltılmış adımda önceki değerlerinin 3/4’üne inmesi beklenir. Logaritmik eksende bu sürüklenme kesikli çizgidir; en az 100 sayıdan oluşan Benzer büyüklükte topluluğunda çizilir. İnişi hesaba katmaz: 1’e ulaşan sayılar tabanda kalır, bu yüzden sona doğru topluluğun bu eksendeki ortalama yüksekliği çizgiden daha yavaş düşer.

Yazı tura atışları yalnızca sayıların ortalama davranışının bir modelidir. Sanı ise her pozitif tam sayı hakkındadır; 1’e hiç ulaşmayan tek bir uçuş bile onu çürütür.

Negatif sayılar, bu akıl yürütmenin neyi kaçırdığını gösterir. Aynı kural onlarda döngüler oluşturur ve üç döngü bilinmektedir; örneğin −5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5. Yazı tura modeli orada da küçülme öngörür, ama herhangi bir döngüyü bir kez dolaşmak $\log|n|$ değerini tam 0 değiştirir. Ortalama aşağı yönlü sürüklenme bir döngüyü dışlayamaz; pozitif sayılarda da durum aynıdır.

Mercan uçuşları tersine çevirir: 1’den geriye doğru büyütüldüğünde bir topluluğun yolları ağaç oluşturur. Her kenar, yeni sayı çiftse öncekine göre $+\alpha$, tekse $-\alpha \log_2 3$ kadar döner; α, Bükülme ile ayarlanır. 1’den geriye giderken çift adım sayıyı ikiye katlar ve onun $\log_2$ değerini 1 artırır; tek adım ise bu değeri $\log_2 3$ değerinden biraz daha fazla azaltır. Dolayısıyla n’ye ulaşan kenar, dikey yukarı yönünden toplam $\alpha \log_2 n$ kadar dönmüştür; her tek adım için buna biraz daha eklenir. Dönüşü, n’nin büyüklüğünü kaydeder. Bir dal boyunca yön, bir uçuşun sayılarıyla birlikte yükselip alçalır; yani her dal kıvrılmış bir uçuştur. Uçuşların buluştuğu yerde dallar da birleşir. Bu dille sanı, 1’den büyüyen ağacın her pozitif tam sayıyı içerdiğini söyler.

Problem genellikle 1930’larda bu tür sorular ortaya atan Lothar Collatz’a atfedilir. Mercan, Edmund Harriss’in “Collatz seaweed” (2016) çizimini izler.