Conjetura de Collatz

Escrita como aplicación, la regla de la conjetura de Collatz es

Un vuelo parte de $n$, pasa por $f(n)$, $f(f(n))$ y así sucesivamente, y termina al llegar a 1, pues después solo recorrería el ciclo 1 → 4 → 2 → 1. La conjetura afirma que todo entero positivo llega ahí. Aquí puedes hacer volar enteros, incluso de cientos de cifras, solos o en grupo. Puedes compararlos con el argumento aproximado que hace tan creíble la conjetura y ver por qué ese argumento no es una demostración.

El eje horizontal muestra el número de pasos y el vertical el valor, en escala logarítmica salvo que elijas Lineal, que da el conocido dibujo de granizo. Cada número del grupo es una línea de color, así que un tramo recorrido por muchos números tiene un color más intenso: más brillante sobre fondo oscuro y más oscuro sobre fondo claro. El número observado aparece resaltado, con un punto rojo en su posición actual. Los vuelos son difíciles de predecir: 27 sube hasta 9 232 y necesita 111 pasos para llegar a 1, mientras que 28 necesita 18.

¿Por qué se cree en ella? Un paso impar siempre da un número par, así que lo agrupamos con la división entre dos que le sigue en un solo paso abreviado. Supongamos ahora que las paridades de estos pasos son lanzamientos independientes de una moneda equilibrada. La mitad de las veces, $n$ se multiplica aproximadamente por 3/2, y la otra mitad por 1/2, por lo que un paso abreviado cambia, en promedio, $\ln n$ en

Los números deberían entonces disminuir, normalmente hasta 3/4 de su valor cada dos pasos abreviados. En el eje logarítmico, esta deriva es la línea discontinua, que se dibuja para un grupo de Tamaño similar con al menos 100 números. No tiene en cuenta el aterrizaje: los números que llegan a 1 se quedan en el suelo, así que, cerca del final, la altura media del grupo en este eje baja más despacio que la línea.

Los lanzamientos de moneda son solo un modelo del comportamiento medio de los números. La conjetura habla de todos los enteros positivos: bastaría un solo vuelo que nunca llegara a 1 para refutarla.

Los números negativos muestran lo que se le escapa al argumento. La misma regla tiene ciclos entre ellos, y se conocen tres, como −5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5. El modelo de la moneda también predice una disminución allí, pero recorrer una vez cualquier ciclo cambia $\log|n|$ en exactamente 0. Una deriva media descendente no puede descartar un ciclo, tampoco entre los números positivos.

Coral invierte los vuelos: al crecer hacia atrás desde 1, las rutas de un grupo forman un árbol. Cada arista gira respecto de la anterior un ángulo $+\alpha$ si el nuevo número es par, y $-\alpha \log_2 3$ si es impar, con α fijado por Curvatura. Al retroceder desde 1, un paso par duplica el número y aumenta su $\log_2$ en 1; un paso impar lo reduce en un poco más de $\log_2 3$. Por tanto, la arista que llega a n ha girado desde la vertical hacia arriba un total de $\alpha \log_2 n$, más un poco por cada paso impar: su giro registra el tamaño de n. A lo largo de una rama, la dirección sube y baja con los números de un vuelo, así que cada rama es un vuelo enrollado. Las ramas se unen donde coinciden los vuelos. En estos términos, la conjetura dice que el árbol que crece desde 1 contiene todos los enteros positivos.

El problema suele atribuirse a Lothar Collatz, que planteó preguntas de este tipo en la década de 1930. El coral sigue la «Collatz seaweed» de Edmund Harriss (2016).