Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan untuk menghitung: $0, 1, 2, 3, \dots$, mulai dari 0 lalu bertambah 1, tanpa bilangan terbesar. Himpunannya ditulis $\mathbb{N}$. Di sini kamu memilih dua di antaranya, $a$ dan $b$, serta salah satu dari empat operasi: keping melakukan operasi, garis bilangan menunjukkan posisi hasil, dan tabel semua $a$ dan $b$ dari 0 hingga 20 menunjukkan kapan hasil kembali menjadi bilangan asli.

Tidak ada konvensi yang berlaku universal. Halaman ini mengikuti standar internasional ISO 80000-2 yang memasukkan 0: jika tidak ada benda, jumlahnya 0. Banyak buku justru mulai dari 1. Jika pembedaan ini penting, gunakan istilah yang jelas: bilangan bulat taknegatif $\{0, 1, 2, \dots\}$, sering ditulis $\mathbb{N}_0$, dan bilangan bulat positif $\{1, 2, 3, \dots\}$, sering ditulis $\mathbb{N}^{+}$ atau $\mathbb{Z}^{+}$. Sebelum membaca rumus di tempat lain, periksa konvensi yang dimaksud.

Menggabungkan dua kumpulan lalu menghitungnya kembali memberi jumlah, begitu juga $a$ baris berisi $b$: jumlah dan hasil kali bilangan asli tetap bilangan asli, sehingga tabel penjumlahan dan perkalian menyala seluruhnya. Pengambilan hanya bisa dilakukan jika cukup: $a - b$ adalah bilangan asli tepat ketika $a \ge b$, yakni diagonal tabel pengurangan dan sel di bawahnya.

Ketika $b > 0$, membagi $a$ benda sama rata menjadi $b$ kelompok tepat tanpa sisa hanya jika $b$ membagi habis $a$. Jika tidak, bilangan asli tetap menggambarkan hasil melalui pembagian bersisa: $a = qb + r$, dengan bilangan asli $q$, $r$ dan $0 \le r < b$. Tujuh dibagi menjadi dua kelompok memberi masing-masing 3 dan sisa 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Jika sisa 1 juga dibagi, tiap kelompok mendapat $3 + \tfrac{1}{2}$, sehingga hasil bagi $7 \div 2 = 3.5$ berada di antara 3 dan 4. Pembagian dengan 0 berbeda: $a \div b$ adalah bilangan yang dikalikan $b$ menghasilkan $a$, dan setiap bilangan dikali 0 adalah 0. Jadi $a \div 0$ tidak memiliki nilai saat $a \ne 0$, sedangkan $0 \div 0$ tidak memiliki nilai tunggal. Keduanya tidak terdefinisi: bukan bilangan di luar bilangan asli, melainkan tidak ada hasil sama sekali.

Agar setiap pengurangan dapat dilakukan, bilangan diperluas ke bilangan bulat $\mathbb{Z}$, dengan menambahkan $-1, -2, \dots$; agar setiap pembagian dengan bilangan bukan nol dapat dilakukan, diperluas ke bilangan rasional $\mathbb{Q}$. Pembagian dengan 0 tetap tidak terdefinisi pada setiap tahap.