Натуральное число

Натуральные числа служат для счёта: $0, 1, 2, 3, \dots$, начиная с 0 и прибавляя по 1, без наибольшего числа. Их множество обозначают $\mathbb{N}$. Здесь вы выбираете два числа, $a$ и $b$, и одну из четырёх операций: фишки её выполняют, числовая прямая показывает результат, а таблица всех $a$ и $b$ от 0 до 20 — когда он снова натуральный.

Единого соглашения нет. Эта страница следует международному стандарту ISO 80000-2 и включает 0: если предметов нет, их количество равно 0. Многие книги начинают с 1. Когда различие важно, используют однозначные названия: неотрицательные целые числа $\{0, 1, 2, \dots\}$, часто обозначаемые $\mathbb{N}_0$, и положительные целые числа $\{1, 2, 3, \dots\}$, часто обозначаемые $\mathbb{N}^{+}$ или $\mathbb{Z}^{+}$. Читая формулу в другом месте, проверьте, какое множество имеется в виду.

Объединение и подсчёт двух наборов снова дают количество, как и $a$ рядов по $b$: суммы и произведения натуральных чисел натуральны, поэтому таблицы сложения и умножения светятся целиком. Убирать можно, лишь когда предметов достаточно: $a - b$ натурально тогда и только тогда, когда $a \ge b$. Это диагональ таблицы вычитания и ячейки ниже неё.

При $b > 0$ распределить $a$ предметов поровну по $b$ группам без остатка можно только если $b$ делит $a$. Иначе натуральные числа описывают результат через деление с остатком: $a = qb + r$, где $q$, $r$ натуральны и $0 \le r < b$. Семь предметов в двух группах дают по 3 и остаток 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Разделив оставшийся предмет, получим в каждой группе $3 + \tfrac{1}{2}$; частное $7 \div 2 = 3.5$ лежит между 3 и 4. Деление на 0 — другой случай: $a \div b$ должно при умножении на $b$ давать $a$, а любое число, умноженное на 0, даёт 0. Поэтому у $a \div 0$ нет значения при $a \ne 0$, а у $0 \div 0$ нет единственного значения. Оба выражения не определены: это отсутствие результата, а не число вне натуральных.

Чтобы сделать любое вычитание возможным, числа расширяют до целых $\mathbb{Z}$, добавляя $-1, -2, \dots$; чтобы делить на любое ненулевое число — до рациональных $\mathbb{Q}$. Деление на 0 остаётся неопределённым на каждом этапе.