自然数

自然数はものを数えるための数 $0, 1, 2, 3, \dots$ です。0 から始めて 1 ずつ増え、最大の数はありません。その集合を $\mathbb{N}$ と書きます。このページでは2つの自然数 $a$ と $b$、そして四則演算の1つを選びます。丸い駒で計算し、数直線で結果の位置を示し、0 から 20 のすべての $a$ と $b$ の表で結果が再び自然数になる場合を示します。

統一された約束はありません。このページは国際規格 ISO 80000-2 に従い、0 を含めます。何もなければ個数は 0 です。一方、1 から始める本も多くあります。区別が大切な場合は、非負整数 $\{0, 1, 2, \dots\}$（よく $\mathbb{N}_0$ と書く）や正の整数 $\{1, 2, 3, \dots\}$（よく $\mathbb{N}^{+}$ または $\mathbb{Z}^{+}$ と書く）という明確な名称を使います。別の場所で公式を読むときは、どちらを意味するか確認しましょう。

2つの集まりを合わせて数えても、$b$ 個ずつを $a$ 列並べても、結果は個数です。自然数の和と積は自然数なので、加法表と乗法表は全体が光ります。引くには十分な個数が必要です。$a - b$ が自然数になるのは $a \ge b$ のときだけで、減法表の対角線とその下のマスに対応します。

$b > 0$ のとき、$a$ 個を $b$ 組に等しく余りなく分けられるのは、$b$ が $a$ を割り切るときだけです。それ以外でも、自然数を使った余りのある割り算で表せます：$a = qb + r$。ここで $q$ と $r$ は自然数で、$0 \le r < b$ です。7 個を 2 組に分けると1組 3 個、余り 1 個で、$7 = 3 \times 2 + 1$。余った 1 個も分けると各組は $3 + \tfrac{1}{2}$ となるため、商 $7 \div 2 = 3.5$ は 3 と 4 の間です。一方、0 による除算は別の問題です。$a \div b$ は $b$ を掛けると $a$ になる数ですが、どの数に 0 を掛けても 0 です。したがって $a \ne 0$ のとき $a \div 0$ には値がなく、$0 \div 0$ にはただ1つの値がありません。どちらも未定義であり、自然数の外の数ではなく、結果自体が存在しません。

すべての引き算を可能にするには $-1, -2, \dots$ を加えた整数 $\mathbb{Z}$ に、0 以外の数によるすべての割り算を可能にするには有理数 $\mathbb{Q}$ に数を広げます。どの段階でも 0 による除算は未定義です。