Número natural

Los números naturales son los que usamos para contar: $0, 1, 2, 3, \dots$, empezando en 0 y sumando 1 cada vez, sin un número máximo. Su conjunto se escribe $\mathbb{N}$. Aquí eliges dos, $a$ y $b$, y una de las cuatro operaciones: las fichas la realizan, la recta numérica sitúa el resultado y una tabla de todos los $a$ y $b$ de 0 a 20 muestra cuándo vuelve a ser natural.

No hay una convención universal. Esta página sigue la norma internacional ISO 80000-2, que incluye el 0: cuando no hay nada, la cantidad es 0. Muchos libros empiezan en 1. Si la distinción importa, se usan nombres inequívocos: los enteros no negativos $\{0, 1, 2, \dots\}$, a menudo escritos $\mathbb{N}_0$, y los enteros positivos $\{1, 2, 3, \dots\}$, a menudo escritos $\mathbb{N}^{+}$ o $\mathbb{Z}^{+}$. Al leer una fórmula en otro lugar, comprueba a cuáles se refiere.

Juntar dos colecciones y contarlas vuelve a dar una cantidad, igual que formar $a$ filas de $b$: las sumas y productos de naturales son naturales y las tablas de suma y multiplicación se iluminan enteras. Solo se puede quitar si hay suficiente: $a - b$ es natural exactamente cuando $a \ge b$, que corresponde a la diagonal de la tabla de resta y las celdas inferiores.

Cuando $b > 0$, repartir $a$ objetos por igual en $b$ grupos es exacto solo si $b$ divide a $a$. Si no, los naturales aún describen lo que ocurre mediante la división con resto: $a = qb + r$, con naturales $q$, $r$ y $0 \le r < b$. Repartir siete en dos grupos da 3 en cada uno y sobra 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. Al dividir también ese 1, cada grupo recibe $3 + \tfrac{1}{2}$, de modo que el cociente $7 \div 2 = 3.5$ está entre 3 y 4. La división entre 0 es distinta: $a \div b$ es el número que multiplicado por $b$ da $a$, y cualquier número por 0 da 0. Por eso $a \div 0$ no tiene valor cuando $a \ne 0$, y $0 \div 0$ no tiene un valor único. En ambos casos está indefinido: no es un número fuera de los naturales, sino que no hay resultado.

Para poder realizar cualquier resta se amplían los números a los enteros $\mathbb{Z}$, añadiendo $-1, -2, \dots$; para dividir entre cualquier número no nulo, a los racionales $\mathbb{Q}$. La división entre 0 sigue sin estar definida en todos los casos.