Doğal sayı

Doğal sayılar saymak için kullanılan sayılardır: $0, 1, 2, 3, \dots$. 0'dan başlar, 1 eklenerek sürer; en büyüğü yoktur. Kümeleri $\mathbb{N}$ ile gösterilir. Bu sayfada iki sayı, $a$ ve $b$, ile dört işlemden birini seçersin: pullar işlemi yapar, sayı doğrusu sonucu yerleştirir, 0'dan 20'ye tüm $a$ ve $b$ değerlerinin tablosu sonucun ne zaman yeniden doğal olduğunu gösterir.

Evrensel bir kabul yoktur. Bu sayfa 0'ı içeren uluslararası ISO 80000-2 standardını izler: hiç nesne yoksa sayı 0'dır. Pek çok kitap ise 1'den başlar. Ayrım önemliyse açık adlar kullanılır: genellikle $\mathbb{N}_0$ yazılan negatif olmayan tam sayılar $\{0, 1, 2, \dots\}$ ve genellikle $\mathbb{N}^{+}$ veya $\mathbb{Z}^{+}$ yazılan pozitif tam sayılar $\{1, 2, 3, \dots\}$. Başka yerde bir formül okurken hangi anlamın kastedildiğini kontrol et.

İki topluluğu birleştirip saymak yine bir sayı verir; her biri $b$ olan $a$ sıra da öyle: doğal sayıların toplamları ve çarpımları doğaldır, toplama ve çarpma tabloları tamamen yanar. Çıkarmak için yeterince nesne olmalıdır: $a - b$ tam olarak $a \ge b$ olduğunda doğaldır; bu, çıkarma tablosunun köşegeni ve altındaki hücrelerdir.

$b > 0$ iken, $a$ nesneyi $b$ gruba eşit ve kalansız paylaştırmak ancak $b$, $a$ sayısını bölerse mümkündür. Diğer durumlarda doğal sayılar sonucu kalanlı bölme ile anlatır: doğal $q$, $r$ sayıları ve $0 \le r < b$ koşuluyla $a = qb + r$. Yediyi iki gruba paylaştırınca her birine 3 düşer, 1 artar: $7 = 3 \times 2 + 1$. Kalan 1 de bölünürse her grup $3 + \tfrac{1}{2}$ alır; bölüm $7 \div 2 = 3.5$, 3 ile 4 arasındadır. 0'a bölme farklıdır: $a \div b$, $b$ ile çarpılınca $a$ veren sayıdır; her sayının 0 ile çarpımı ise 0'dır. Dolayısıyla $a \ne 0$ iken $a \div 0$ değer almaz; $0 \div 0$ için de tek bir değer yoktur. İkisi de tanımsızdır: doğal sayıların dışında bir sayı değil, hiçbir sonuç yoktur.

Her çıkarma işlemini mümkün kılmak için $-1, -2, \dots$ eklenerek tam sayılara $\mathbb{Z}$ geçilir; sıfırdan farklı her sayıya bölmeyi mümkün kılmak için rasyonel sayılara $\mathbb{Q}$ geçilir. 0'a bölme her aşamada tanımsız kalır.