العدد الطبيعي

الأعداد الطبيعية هي أعداد العد: ⁦$0, 1, 2, 3, \dots$⁩، تبدأ من 0 وتستمر بإضافة 1، دون عدد أكبر. تكتب مجموعتها ⁦$\mathbb{N}$⁩. تختار هنا عددين منها، ⁦$a$⁩ و⁦$b$⁩، وإحدى العمليات الأربع: تنفذها القطع، ويحدد خط الأعداد موقع النتيجة، ويعرض جدول جميع قيم ⁦$a$⁩ و⁦$b$⁩ من 0 إلى 20 الحالات التي تكون فيها النتيجة طبيعية من جديد.

لا يوجد اصطلاح موحد. تتبع هذه الصفحة المعيار الدولي ISO 80000-2 الذي يشمل 0: عندما لا توجد أشياء يكون عددها 0. وتبدأ كتب كثيرة من 1 بدلًا من ذلك. عند أهمية التمييز نستخدم أسماء لا تحتمل اللبس: الأعداد الصحيحة غير السالبة ⁦$\{0, 1, 2, \dots\}$⁩، وغالبًا تكتب ⁦$\mathbb{N}_0$⁩، والأعداد الصحيحة الموجبة ⁦$\{1, 2, 3, \dots\}$⁩، وغالبًا تكتب ⁦$\mathbb{N}^{+}$⁩ أو ⁦$\mathbb{Z}^{+}$⁩. قبل قراءة صيغة في مكان آخر تحقق من المعنى المقصود.

جمع مجموعتين من الأشياء وعدّهما يعطي عددًا من الأشياء مجددًا، وكذلك ترتيب صفوف عددها ⁦$a$⁩ وفي كل منها ⁦$b$⁩: مجموع عددين طبيعيين وحاصل ضربهما طبيعيان، فيضيء جدولا الجمع والضرب بالكامل. لا يمكن الأخذ إلا إذا كان العدد كافيًا: يكون ⁦$a - b$⁩ طبيعيًا إذا وفقط إذا ⁦$a \ge b$⁩، وهذا هو قطر جدول الطرح والخلايا التي تحته.

عندما ⁦$b > 0$⁩، يكون توزيع ⁦$a$⁩ بالتساوي على مجموعات عددها ⁦$b$⁩ دقيقًا بلا باقٍ فقط إذا كان ⁦$b$⁩ يقسم ⁦$a$⁩. وإلا فالأعداد الطبيعية تصف ما يحدث عبر القسمة مع باقٍ: ⁦$a = qb + r$⁩، حيث ⁦$q$⁩ و⁦$r$⁩ طبيعيان و⁦$0 \le r < b$⁩. توزيع سبعة على مجموعتين يعطي 3 لكل منهما والباقي 1، أي ⁦$7 = 3 \times 2 + 1$⁩. إذا قسمنا الواحد المتبقي أيضًا حصلت كل مجموعة على ⁦$3 + \tfrac{1}{2}$⁩، فيقع خارج القسمة ⁦$7 \div 2 = 3.5$⁩ بين 3 و4. القسمة على 0 مختلفة: ⁦$a \div b$⁩ هو العدد الذي يعطي ⁦$a$⁩ عند ضربه في ⁦$b$⁩، وكل عدد مضروب في 0 يعطي 0. لذلك لا قيمة لـ⁦$a \div 0$⁩ عندما ⁦$a \ne 0$⁩، وليس لـ⁦$0 \div 0$⁩ قيمة وحيدة. كلاهما غير معرّف: لا نتيجة أصلًا، وليس عددًا خارج الأعداد الطبيعية.

لجعل كل طرح ممكنًا نوسّع الأعداد إلى الأعداد الصحيحة ⁦$\mathbb{Z}$⁩ بإضافة ⁦$-1, -2, \dots$⁩؛ ولإتاحة القسمة على أي عدد غير صفري نوسّعها إلى الأعداد النسبية ⁦$\mathbb{Q}$⁩. تبقى القسمة على 0 غير معرّفة في كل مرحلة.