Entier naturel

Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter : $0, 1, 2, 3, \dots$, en partant de 0 et en ajoutant 1, sans plus grand nombre. Leur ensemble se note $\mathbb{N}$. Ici, vous en choisissez deux, $a$ et $b$, et l’une des quatre opérations : les jetons l’effectuent, la droite situe le résultat et le tableau de tous les $a$ et $b$ de 0 à 20 montre quand il est encore naturel.

Il n’existe pas de convention universelle. Cette page suit la norme internationale ISO 80000-2, qui inclut 0 : quand il n’y a rien, le nombre d’objets est 0. Beaucoup de livres commencent à 1. Pour éviter toute ambiguïté, on parle des entiers positifs ou nuls $\{0, 1, 2, \dots\}$, souvent notés $\mathbb{N}_0$, et des entiers strictement positifs $\{1, 2, 3, \dots\}$, souvent notés $\mathbb{N}^{+}$ ou $\mathbb{Z}^{+}$. Avant de lire une formule ailleurs, vérifiez la convention adoptée.

Réunir deux collections et les compter donne encore un nombre d’objets, tout comme $a$ rangées de $b$ : sommes et produits de naturels sont naturels, les tableaux d’addition et de multiplication s’allument partout. On ne peut retirer que s’il y en a assez : $a - b$ est naturel exactement quand $a \ge b$, soit la diagonale du tableau de soustraction et les cases en dessous.

Lorsque $b > 0$, répartir $a$ objets en $b$ groupes égaux se fait sans reste seulement si $b$ divise $a$. Sinon, les naturels décrivent encore le partage par la division euclidienne : $a = qb + r$, avec des naturels $q$, $r$ et $0 \le r < b$. Sept objets en deux groupes donnent 3 par groupe et un reste de 1, $7 = 3 \times 2 + 1$. En partageant aussi ce dernier objet, chacun reçoit $3 + \tfrac{1}{2}$ ; le quotient $7 \div 2 = 3.5$ se situe donc entre 3 et 4. La division par 0 est différente : $a \div b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$, et tout nombre multiplié par 0 donne 0. Ainsi, $a \div 0$ n’a pas de valeur si $a \ne 0$, et $0 \div 0$ n’a pas de valeur unique. Dans les deux cas, le résultat est indéfini : aucun résultat, et non un nombre hors des naturels.

Pour rendre toute soustraction possible, on étend les nombres aux entiers relatifs $\mathbb{Z}$, en ajoutant $-1, -2, \dots$ ; pour toute division par un nombre non nul, aux rationnels $\mathbb{Q}$. La division par 0 reste indéfinie à chaque étape.