域着色

复函数$w = f(z)$把一个平面上的点送到另一个平面，它的图像要四维才放得下。域着色只留下$z$所在的平面，给那里的每个点涂上代表$f(z)$的颜色。色相是这个值的辐角：默认色环里正实数是红色，辐角转一圈，颜色沿色环走一圈。明暗是它的模：接近0的值暗，模接近1的值是色环本色，大的值亮。嵌入屏就是这张对照表：$w$平面压成一个圆盘，每个点涂它自己的颜色，圆心是0，边缘是∞。

零点是各种颜色汇成的暗点，极点是汇成的亮点。在$m$重零点$a$附近，函数近似$c\,(z-a)^m$，所以辐角约为$\arg c + m\arg(z-a)$。沿一个只圈住$a$的小圆逆时针走一圈，颜色按色环的顺序走$m$遍。在$n$阶极点附近，函数近似$c\,(z-b)^{-n}$，颜色倒着走$n$遍。

红键让一点沿圈走一圈，数颜色转了几圈，正转减去反转。对有理函数

数相乘，辐角相加。沿圈走一圈，圈里的点让$\arg(z-a)$增加整整一圈，圈外的点让它回到原值。所以颜色转的圈数等于圈里的零点数减去极点数，都按重数算。这就是辐角原理；只要函数在圈上和圈里除了圈里的极点处处解析，圈上又没有零点和极点，它就成立。圈里一个零点、一个极点合在一起，颜色净转0圈。