Colorazione del dominio: visualizzazione interattiva

La colorazione del dominio in questa visualizzazione

Una funzione complessa $w = f(z)$ manda un punto di un piano in un punto di un altro piano: il suo grafico richiederebbe quattro dimensioni. La colorazione del dominio mantiene solo il piano di $z$ e colora ogni punto in base al valore $f(z)$ . La tonalità è l’argomento: nella ruota predefinita i reali positivi sono rossi, e i colori compiono un giro quando l’angolo compie un giro. La luminosità è il modulo: i valori vicini a 0 sono scuri, quelli con modulo vicino a 1 hanno i colori della ruota e quelli grandi sono chiari. Il riquadro è la legenda: il piano $w$ compresso in un disco, ogni punto nel proprio colore, con 0 al centro e ∞ sul bordo.

Uno zero è un punto scuro in cui convergono tutti i colori, un polo un punto chiaro. Vicino a uno zero $a$ di ordine $m$ , la funzione si comporta come $c\,(z-a)^m$ , quindi il suo argomento è circa $\arg c + m\arg(z-a)$ . Percorrendo in senso antiorario un piccolo cerchio che racchiude solo $a$ , i colori percorrono la ruota $m$ volte nel suo verso. Vicino a un polo di ordine $n$ , la funzione è simile a $c\,(z-b)^{-n}$ e i colori girano $n$ volte nel verso opposto.

Il tasto rosso percorre il cerchio e conta i giri del colore, in un verso meno quelli nel verso opposto. Per una funzione razionale

f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Gli argomenti si sommano quando i numeri si moltiplicano. Lungo il cerchio ogni $\arg(z-a)$ guadagna un giro completo se $a$ è all’interno e torna al valore iniziale se $a$ è all’esterno. I giri del colore sono quindi il numero degli zeri interni meno quello dei poli interni, contati con il loro ordine. È il principio dell’argomento: vale per ogni funzione analitica all’interno e sul cerchio, eccetto nei poli interni, senza zeri né poli sul cerchio stesso. Uno zero e un polo interni danno insieme zero giri netti.

Cosa osservare

In 0, $e^{1/z}$ ha una singolarità essenziale, né zero né polo: vicino a essa ogni colore, tranne i due estremi, compare infinite volte e il principio dell’argomento non si applica.
Un salto di colore può comparire lungo un taglio di una funzione come $\sqrt z$ o $\log z$ , per cui è stato scelto un ramo. Le funzioni qui sono a un solo valore e continue fuori dalle singolarità, quindi non hanno tagli di ramo. I colori convergono in zeri e poli e si ripetono sempre più fittamente vicino alla singolarità essenziale.
Le linee di fase, quando visibili, incrociano gli anelli del modulo ad angolo retto dove $f$ è finita, non nulla e $f' \ne 0$ : le due famiglie sono le curve di livello delle parti reale e immaginaria di $\log f$ . Nei punti critici questa griglia degenera.

Concetti correlati

Per approfondire: Wikipedia: Domain coloring (Inglese); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (Inglese).