Pewarnaan domain: visualisasi interaktif

Pewarnaan domain dalam visualisasi ini

Fungsi kompleks $w = f(z)$ memetakan titik di satu bidang ke titik di bidang lain, sehingga grafiknya memerlukan empat dimensi. Pewarnaan domain hanya mempertahankan bidang $z$ dan memberi setiap titik warna yang mewakili nilai $f(z)$ . Rona menunjukkan argumen: pada roda warna bawaan, bilangan real positif berwarna merah, dan warna mengelilingi roda sekali ketika sudut berputar sekali. Kecerahan menunjukkan modulus: nilai mendekati 0 gelap, nilai dengan modulus mendekati 1 memakai warna roda, dan nilai besar terang. Tampilan kecil adalah legendanya: bidang $w$ dipadatkan menjadi cakram, setiap titik dengan warnanya sendiri, 0 di pusat dan ∞ di tepi.

Titik nol adalah titik gelap tempat semua warna bertemu; kutub adalah titik terang. Di dekat titik nol $a$ berorde $m$ , fungsi berperilaku seperti $c\,(z-a)^m$ , sehingga argumennya kira-kira $\arg c + m\arg(z-a)$ . Sekali mengelilingi lingkaran kecil yang hanya memuat $a$ berlawanan arah jarum jam, warna melewati roda $m$ kali sesuai urutannya. Di dekat kutub berorde $n$ , fungsi menyerupai $c\,(z-b)^{-n}$ dan warna berputar $n$ kali ke arah sebaliknya.

Tombol merah mengelilingi lingkaran sekali dan menghitung putaran warna, arah maju dikurangi arah mundur. Untuk fungsi rasional

f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Argumen dijumlahkan ketika bilangan dikalikan. Sepanjang lingkaran, setiap $\arg(z-a)$ bertambah satu putaran penuh jika $a$ berada di dalam dan kembali ke nilai awal jika $a$ berada di luar. Jadi, putaran warna sama dengan jumlah titik nol di dalam dikurangi jumlah kutub di dalam, masing-masing dihitung menurut ordenya. Inilah prinsip argumen. Prinsip ini berlaku bagi fungsi yang analitik di dalam dan pada lingkaran, kecuali kutub di dalamnya, tanpa titik nol atau kutub pada lingkaran itu sendiri. Satu titik nol dan satu kutub di dalam bersama-sama menghasilkan nol putaran bersih.

Hal yang perlu diperhatikan

Di 0, $e^{1/z}$ memiliki singularitas esensial, bukan titik nol maupun kutub. Di dekatnya, setiap warna selain dua ujung muncul tak terhingga kali; prinsip argumen tidak berlaku.
Lompatan warna dapat terjadi pada potongan cabang fungsi seperti $\sqrt z$ atau $\log z$ , ketika sebuah cabang dipilih. Fungsi di sini bernilai tunggal dan kontinu di luar singularitasnya, sehingga tidak memiliki potongan cabang. Warna bertemu di titik nol dan kutub, dan berulang semakin rapat di dekat singularitas esensial.
Jika garis fase ditampilkan, garis tersebut memotong cincin modulus secara tegak lurus di tempat $f$ berhingga, tidak nol, dan $f' \ne 0$ . Kedua keluarga itu adalah kurva level bagian real dan imajiner $\log f$ . Pada titik kritis, kisi ini mengalami degenerasi.

Konsep terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Domain coloring (Bahasa Inggris); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (Bahasa Inggris).