Math

복소함수 · w = f(z)

정의역 색칠

정의역 색칠은 각 점 z를 f(z) 값에 해당하는 색으로 칠해 복소함수를 나타냅니다. 색상은 편각, 밝기는 절댓값입니다.

이 시각화의 정의역 색칠

복소함수 w=f(z)w = f(z)는 한 평면의 점을 다른 평면의 점으로 보내므로 그래프를 그리려면 4차원이 필요합니다. 정의역 색칠은 zz의 평면만 남기고 각 점을 값 f(z)f(z)에 해당하는 색으로 칠합니다. 색상은 편각을 나타냅니다. 기본 색상환에서 양의 실수는 빨강이며, 각도가 한 바퀴 돌면 색도 색상환을 한 바퀴 돕니다. 밝기는 절댓값을 나타냅니다. 0에 가까운 값은 어둡고, 절댓값이 1에 가까우면 색상환 고유의 색이며, 큰 값은 밝습니다. 작은 그림이 범례입니다. ww 평면을 원판으로 압축해 각 점을 자신의 색으로 칠했으며 중심은 0, 가장자리는 ∞입니다.

영점에서는 모든 색이 어두운 점에 모이고 극점에서는 밝은 점에 모입니다. mm중 영점 aa 근처에서 함수는 c (z−a)mc\,(z-a)^m처럼 변하므로 편각은 대략 arg⁡c+marg⁡(z−a)\arg c + m\arg(z-a)입니다. aa만 포함하는 작은 원을 반시계 방향으로 한 바퀴 돌면 색은 색상환 순서대로 mm번 돕니다. nn차 극점 근처에서는 함수가 c (z−b)−nc\,(z-b)^{-n}처럼 변하며 색은 반대 방향으로 nn번 돕니다.

빨간 키는 원을 한 바퀴 돌며 색의 정방향 회전수에서 역방향 회전수를 뺍니다. 유리함수의 경우

f(z)=c (z−a1)m1⋯(z−b1)n1⋯,arg⁡f=arg⁡c+∑miarg⁡(z−ai)−∑njarg⁡(z−bj).f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

수를 곱하면 편각은 더해집니다. 원을 한 바퀴 돌 때 각 arg⁡(z−a)\arg(z-a)는 aa가 안에 있으면 한 바퀴만큼 증가하고, aa가 밖에 있으면 처음 값으로 돌아옵니다. 따라서 색의 회전수는 내부 영점 수에서 내부 극점 수를 뺀 값이며, 각각 차수를 포함해 셉니다. 이것이 편각 원리입니다. 원 안의 극점을 제외하고 원 안과 원 위에서 해석적이며, 원 위에 영점이나 극점이 없는 함수에 성립합니다. 내부의 영점 하나와 극점 하나는 합쳐 순회전수 0을 만듭니다.

살펴볼 점

  • e1/ze^{1/z}는 0에서 영점도 극점도 아닌 본질적 특이점을 갖습니다. 그 근처에서는 양 끝을 제외한 모든 색이 무한히 나타나며 편각 원리를 적용할 수 없습니다.
  • z\sqrt z나 log⁡z\log z처럼 가지를 선택하는 함수는 가지 절단을 따라 색이 갑자기 바뀔 수 있습니다. 여기의 함수는 단일값을 가지며 특이점 밖에서는 연속이므로 가지 절단이 없습니다. 색은 영점과 극점에 모이고 본질적 특이점 근처에서 더 촘촘히 반복됩니다.
  • 등편각선을 켜면 ff가 유한하고 0이 아니며 f′≠0f' \ne 0인 곳에서 등절댓값 고리와 직교합니다. 두 곡선군은 log⁡f\log f의 실수부와 허수부의 등고선입니다. 임계점에서는 이 격자가 퇴화합니다.

관련 개념

더 읽어 보기: Wikipedia: Domain coloring (영어); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (영어).