Domain Coloring

Eine komplexe Funktion $w = f(z)$ bildet einen Punkt einer Ebene auf einen Punkt einer anderen ab; ihr Graph bräuchte daher vier Dimensionen. Domain Coloring behält nur die Ebene von $z$ und färbt jeden Punkt nach dem Wert $f(z)$. Der Farbton zeigt das Argument: Im voreingestellten Farbkreis sind positive reelle Zahlen rot, und bei einer vollen Winkeldrehung durchlaufen die Farben einmal den Kreis. Die Helligkeit zeigt den Betrag: Werte nahe 0 sind dunkel, Werte mit Betrag nahe 1 tragen die Farben des Farbkreises, große Werte sind hell. Das kleine Bild ist die Legende: die $w$-Ebene als Kreisscheibe, jeder Punkt in seiner eigenen Farbe, 0 in der Mitte und ∞ am Rand.

An einer Nullstelle treffen alle Farben in einem dunklen Punkt zusammen, an einem Pol in einem hellen. Nahe einer Nullstelle $a$ der Ordnung $m$ verhält sich die Funktion wie $c\,(z-a)^m$, ihr Argument also ungefähr wie $\arg c + m\arg(z-a)$. Auf einem kleinen Kreis, der nur $a$ einschließt, durchlaufen die Farben bei einem Umlauf gegen den Uhrzeigersinn den Farbkreis $m$-mal in seiner Richtung. Nahe einem Pol der Ordnung $n$ verhält sich die Funktion wie $c\,(z-b)^{-n}$, und die Farben laufen $n$-mal andersherum.

Die rote Taste läuft den Kreis einmal ab und zählt die Farbumdrehungen: vorwärts minus rückwärts. Für eine rationale Funktion

Beim Multiplizieren addieren sich die Argumente. Entlang des Kreises gewinnt jedes $\arg(z-a)$ eine volle Umdrehung, wenn $a$ innen liegt, und kehrt zum Anfangswert zurück, wenn $a$ außen liegt. Die Zahl der Farbumdrehungen ist daher die Zahl der Nullstellen innen minus die Zahl der Pole innen, jeweils mit ihrer Ordnung gezählt. Das ist das Argumentprinzip. Es gilt für Funktionen, die im Kreisinneren und auf dem Kreis bis auf Pole im Inneren analytisch sind, sofern auf dem Kreis selbst keine Nullstelle und kein Pol liegt. Eine Nullstelle und ein Pol im Inneren ergeben zusammen keine Nettoumdrehung.