Coloração de domínio: visualização interativa

A coloração de domínio nesta visualização

Uma função complexa $w = f(z)$ leva um ponto de um plano a um ponto de outro; seu gráfico precisaria de quatro dimensões. A coloração de domínio mantém apenas o plano de $z$ e pinta cada ponto com a cor de seu valor $f(z)$ . O tom indica o argumento: na roda padrão, os reais positivos são vermelhos e as cores dão uma volta quando o ângulo dá uma volta. O brilho indica o módulo: valores próximos de 0 são escuros, valores de módulo próximo de 1 têm as cores da roda e valores grandes são claros. A vista pequena é a legenda: o plano $w$ comprimido num disco, cada ponto na própria cor, com 0 no centro e ∞ na borda.

Um zero é um ponto escuro onde todas as cores se encontram; um polo é um ponto claro. Perto de um zero $a$ de ordem $m$ , a função se comporta como $c\,(z-a)^m$ , logo seu argumento é aproximadamente $\arg c + m\arg(z-a)$ . Ao percorrer no sentido anti-horário um pequeno círculo que envolve apenas $a$ , as cores percorrem a roda $m$ vezes em sua ordem. Perto de um polo de ordem $n$ , a função se parece com $c\,(z-b)^{-n}$ e as cores giram $n$ vezes no sentido oposto.

A tecla vermelha percorre o círculo uma vez e conta as voltas da cor, num sentido menos as do sentido oposto. Para uma função racional

f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Ao multiplicar números, os argumentos se somam. Ao longo do círculo, cada $\arg(z-a)$ ganha uma volta inteira se $a$ está dentro e retorna ao valor inicial se $a$ está fora. Assim, as voltas da cor são o número de zeros internos menos o de polos internos, contando suas ordens. É o princípio do argumento: vale para funções analíticas dentro e sobre o círculo, exceto nos polos internos, sem zeros nem polos sobre o círculo. Um zero e um polo internos produzem juntos zero voltas líquidas.

O que observar

Em 0, $e^{1/z}$ tem uma singularidade essencial, que não é zero nem polo: perto dela, cada cor exceto os dois extremos aparece infinitas vezes, e o princípio do argumento não se aplica.
Pode haver um salto de cor num corte de uma função como $\sqrt z$ ou $\log z$ , para a qual se escolheu um ramo. As funções daqui atribuem um único valor a cada entrada e são contínuas fora das singularidades; por isso não há corte de ramo. As cores se encontram nos zeros e polos e se repetem cada vez mais densamente perto da singularidade essencial.
As linhas de fase, quando visíveis, cruzam os anéis de módulo em ângulo reto onde $f$ é finita, não nula e $f' \ne 0$ : as duas famílias são curvas de nível das partes real e imaginária de $\log f$ . Num ponto crítico, essa malha degenera.

Conceitos relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Domain coloring (Inglês); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (Inglês).