Math

الدوال المركبة · ⁦w = f(z)⁩

تلوين المجال

يرسم تلوين المجال دالة مركبة بتلوين كل نقطة ⁦z⁩ بلون يمثل قيمتها ⁦f(z)⁩: يبيّن اللون العمدة ويبيّن السطوع المطلق.

تلوين المجال في هذا التصور

تنقل الدالة المركبة w=f(z)w = f(z) نقطة من مستوى إلى نقطة في مستوى آخر، ولذلك يحتاج رسمها إلى أربعة أبعاد. يحتفظ تلوين المجال بمستوى zz فقط، ويلون كل نقطة بحسب القيمة f(z)f(z). يمثل اللون العمدة: في العجلة الافتراضية تكون الأعداد الحقيقية الموجبة حمراء، وتكمل الألوان دورة عندما تكمل الزاوية دورة. ويمثل السطوع المطلق: القيم القريبة من 0 داكنة، والقيم التي يقترب مطلقها من 1 تحمل ألوان العجلة، والقيم الكبيرة فاتحة. الصورة الصغيرة هي الدليل: مستوى ww مضغوط إلى قرص، كل نقطة بلونها، و0 في الوسط و∞ عند الحافة.

الصفر نقطة داكنة تلتقي فيها جميع الألوان، والقطب نقطة فاتحة. قرب صفر aa من الرتبة mm تتصرف الدالة مثل c (z−a)mc\,(z-a)^m، فتكون عمدتها تقريبًا arg⁡c+marg⁡(z−a)\arg c + m\arg(z-a). عند السير مرة عكس عقارب الساعة على دائرة صغيرة تحيط فقط بـaa، تمر الألوان بالعجلة mm مرة وفق ترتيبها. قرب قطب من الرتبة nn تتصرف الدالة مثل c (z−b)−nc\,(z-b)^{-n}، فتدور الألوان nn مرة في الاتجاه المعاكس.

يسير المفتاح الأحمر حول الدائرة مرة، ويعدّ دورات اللون في الاتجاه الأمامي مطروحًا منها العكسي. بالنسبة إلى دالة كسرية

f(z)=c (z−a1)m1⋯(z−b1)n1⋯,arg⁡f=arg⁡c+∑miarg⁡(z−ai)−∑njarg⁡(z−bj).f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

تُجمع العمد عند ضرب الأعداد. على طول الدائرة، تزداد كل arg⁡(z−a)\arg(z-a) دورة كاملة إذا كانت aa في الداخل، وتعود إلى قيمتها الابتدائية إذا كانت aa في الخارج. لذلك يساوي عدد دورات اللون عدد الأصفار الداخلية مطروحًا منه عدد الأقطاب الداخلية، مع احتساب الرتب. هذا هو مبدأ العمدة. ينطبق على كل دالة تحليلية داخل الدائرة وعليها، عدا الأقطاب الداخلية، بشرط ألا يوجد صفر أو قطب على الدائرة نفسها. يعطي صفر وقطب في الداخل معًا صافي صفر دورة.

ما الذي تلاحظه؟

  • للدالة e1/ze^{1/z} نقطة شاذة أساسية عند 0، ليست صفرًا ولا قطبًا. قربها يظهر كل لون عدا الطرفين عددًا لا نهائيًا من المرات، ولا ينطبق مبدأ العمدة.
  • قد يقفز اللون على طول قطع في دالة مثل z\sqrt z أو log⁡z\log z عندما يُختار فرع لها. الدوال هنا وحيدة القيمة ومتصلة خارج نقاطها الشاذة، ولذلك لا يوجد قطع فرعي. تلتقي الألوان عند الأصفار والأقطاب وتتكرر بكثافة متزايدة قرب النقطة الشاذة الأساسية.
  • عند إظهار خطوط العمدة، تتقاطع مع حلقات المطلق بزاوية قائمة حيث تكون ff منتهية وغير صفرية ويتحقق f′≠0f' \ne 0. العائلتان هما منحنيات المستوى للجزأين الحقيقي والتخيلي من log⁡f\log f. عند نقطة حرجة تتدهور هذه الشبكة.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Domain coloring (الإنجليزية); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (الإنجليزية).