Coloration de domaine : visualisation interactive

La coloration de domaine dans cette visualisation

Une fonction complexe $w = f(z)$ envoie un point d’un plan vers un point d’un autre plan : son graphe nécessiterait quatre dimensions. La coloration de domaine ne garde que le plan de $z$ et colore chaque point selon la valeur $f(z)$ . La teinte indique l’argument : dans le cercle de couleurs par défaut, les réels positifs sont rouges ; quand l’angle fait un tour, les couleurs font un tour du cercle. La luminosité indique le module : les valeurs proches de 0 sont sombres, celles de module proche de 1 portent les couleurs du cercle, les grandes valeurs sont claires. La petite vue sert de légende : le plan $w$ comprimé en disque, chaque point dans sa propre couleur, avec 0 au centre et ∞ au bord.

Un zéro est un point sombre où toutes les couleurs se rejoignent ; un pôle est un point clair. Près d’un zéro $a$ d’ordre $m$ , la fonction se comporte comme $c\,(z-a)^m$ , donc son argument vaut environ $\arg c + m\arg(z-a)$ . En parcourant une fois dans le sens antihoraire un petit cercle entourant seulement $a$ , les couleurs font $m$ tours dans l’ordre du cercle des couleurs. Près d’un pôle d’ordre $n$ , la fonction ressemble à $c\,(z-b)^{-n}$ et les couleurs font $n$ tours dans l’autre sens.

La touche rouge parcourt une fois le cercle et compte les tours de couleur, dans un sens moins ceux dans l’autre. Pour une fonction rationnelle

f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Les arguments s’ajoutent quand on multiplie les nombres. Le long du cercle, chaque $\arg(z-a)$ gagne un tour complet si $a$ est à l’intérieur et revient à sa valeur initiale si $a$ est à l’extérieur. Le nombre de tours de couleur est donc celui des zéros intérieurs moins celui des pôles intérieurs, comptés avec leur ordre. C’est le principe de l’argument. Il vaut pour toute fonction analytique à l’intérieur et sur le cercle, sauf aux pôles intérieurs, sans zéro ni pôle sur le cercle. Un zéro et un pôle intérieurs donnent ensemble un bilan de zéro tour.

À observer

En 0, $e^{1/z}$ présente une singularité essentielle, ni zéro ni pôle. Près d’elle, chaque couleur sauf les deux extrêmes apparaît une infinité de fois ; le principe de l’argument ne s’applique pas.
Un saut de couleur peut apparaître sur une coupure d’une fonction comme $\sqrt z$ ou $\log z$ , lorsqu’on a choisi une branche. Les fonctions ici sont univaluées et continues hors de leurs singularités : elles n’ont pas de coupure de branche. Les couleurs se rejoignent aux zéros et aux pôles et se répètent de plus en plus densément près de la singularité essentielle.
Lorsque les lignes de phase sont visibles, elles croisent les anneaux de module à angle droit là où $f$ est finie, non nulle et où $f' \ne 0$ : les deux familles sont les lignes de niveau des parties réelle et imaginaire de $\log f$ . En un point critique, cette grille dégénère.

Notions connexes

Pour aller plus loin: Wikipédia: Domain coloring (Anglais); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (Anglais).