域著色

複函數$w = f(z)$把一個平面上的點送到另一個平面，它的圖像要四維才放得下。域著色只留下$z$所在的平面，給每個點塗上代表$f(z)$的顏色。色相是這個值的輻角：預設色環裡正實數是紅色，輻角轉一圈，顏色沿色環走一圈。明暗是它的模：接近0的值暗，模接近1的值是色環本色，大的值亮。嵌入圖就是這張對照表：$w$平面壓成圓盤，每個點塗自己的顏色，圓心是0，邊緣是∞。

零點是各種顏色匯成的暗點，極點是匯成的亮點。在$m$重零點$a$附近，函數近似$c\,(z-a)^m$，所以輻角約為$\arg c + m\arg(z-a)$。沿一個只圈住$a$的小圓逆時針走一圈，顏色按色環順序走$m$遍。在$n$階極點附近，函數近似$c\,(z-b)^{-n}$，顏色反著走$n$遍。

紅鍵讓一點沿圓走一圈，數顏色轉了幾圈，正轉減去反轉。對有理函數

數相乘，輻角相加。沿圓走一圈，若$a$在圓內，每個$\arg(z-a)$增加整整一圈；若$a$在圓外，便回到原值。所以顏色轉的圈數等於圓內零點數減去極點數，都按重數算。這就是輻角原理；只要函數在圓周上和內部除了內部的極點以外處處解析，圓周上又沒有零點和極點，它就成立。圓內一個零點、一個極點合計帶來0圈淨轉動。