Coloración del dominio: visualización interactiva

La coloración del dominio en esta visualización

Una función compleja $w = f(z)$ lleva un punto de un plano a otro, por lo que su gráfica necesitaría cuatro dimensiones. La coloración del dominio conserva solo el plano de $z$ y pinta cada punto con el color de su valor $f(z)$ . El tono indica el argumento: en la rueda predeterminada, los reales positivos son rojos, y los colores dan una vuelta completa cuando el ángulo da una vuelta. El brillo indica el módulo: los valores cercanos a 0 son oscuros, los de módulo cercano a 1 tienen los colores de la rueda y los grandes son claros. La vista pequeña es la leyenda: el plano $w$ comprimido en un disco, con cada punto en su propio color, 0 en el centro e ∞ en el borde.

Un cero es un punto oscuro donde convergen todos los colores; un polo es un punto claro. Cerca de un cero $a$ de orden $m$ , la función se comporta como $c\,(z-a)^m$ , así que su argumento es aproximadamente $\arg c + m\arg(z-a)$ . Al recorrer en sentido antihorario un pequeño círculo que encierra solo $a$ , los colores recorren la rueda $m$ veces en su orden. Cerca de un polo de orden $n$ , la función se parece a $c\,(z-b)^{-n}$ y los colores giran $n$ veces en sentido contrario.

La tecla roja recorre el círculo una vez y cuenta las vueltas del color, en un sentido menos las del contrario. Para una función racional

f(z) = c\,\frac{(z-a_1)^{m_1}\cdots}{(z-b_1)^{n_1}\cdots},\qquad \arg f = \arg c + \sum m_i \arg(z-a_i) - \sum n_j \arg(z-b_j).

Al multiplicar números, sus argumentos se suman. A lo largo del círculo, cada $\arg(z-a)$ gana una vuelta completa si $a$ está dentro y regresa al valor inicial si $a$ está fuera. Por tanto, las vueltas del color son el número de ceros interiores menos el de polos interiores, contando sus órdenes. Es el principio del argumento: se cumple para toda función analítica dentro y sobre el círculo, salvo en los polos interiores, sin ceros ni polos sobre el propio círculo. Un cero y un polo interiores dan juntos cero vueltas netas.

Qué observar

En 0, $e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial, que no es ni cero ni polo. Cerca de ella, cada color salvo los dos extremos aparece infinitas veces y no se aplica el principio del argumento.
Puede haber un salto de color en un corte de una función como $\sqrt z$ o $\log z$ , al elegir una rama. Las funciones de aquí son univaluadas y continuas fuera de sus singularidades, por lo que no tienen cortes de rama. Los colores convergen en ceros y polos y se repiten cada vez más densamente cerca de la singularidad esencial.
Al mostrar las líneas de fase, estas cruzan los anillos de módulo en ángulo recto donde $f$ es finita, no nula y $f' \ne 0$ : ambas familias son curvas de nivel de las partes real e imaginaria de $\log f$ . En un punto crítico, esta cuadrícula degenera.

Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Domain coloring (Inglés); Elias Wegert, Gunter Semmler, “Phase Plots of Complex Functions: A Journey in Illustration”, Notices of the AMS 58(6), 768–780 (2011) (Inglés).